Algèbre linéaire Exemples

$2 x_{1} + 4 x_{2} + 6 x_{3} = 18$ $4 x_{1} + 5 x_{2} - 6 x_{3} = 24$ $2 x_{1} + x_{2} - 12 x_{3} = 2$

Étape 1

Écrivez le système comme une matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 & 18 \\ 4 & 5 & - 6 & 24 \\ 2 & 1 & - 12 & 2 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 2.1.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{4}{2} & \frac{6}{2} & \frac{18}{2} \\ 4 & 5 & - 6 & 24 \\ 2 & 1 & - 12 & 2 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 4 & 5 & - 6 & 24 \\ 2 & 1 & - 12 & 2 \end{array}]$

Étape 2.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 2.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 5 - 4 \cdot 2 & - 6 - 4 \cdot 3 & 24 - 4 \cdot 9 \\ 2 & 1 & - 12 & 2 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & - 3 & - 18 & - 12 \\ 2 & 1 & - 12 & 2 \end{array}]$

Étape 2.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 2.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & - 3 & - 18 & - 12 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & - 12 - 2 \cdot 3 & 2 - 2 \cdot 9 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & - 3 & - 18 & - 12 \\ 0 & - 3 & - 18 & - 16 \end{array}]$

Étape 2.4

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 18 & - \frac{1}{3} \cdot - 12 \\ 0 & - 3 & - 18 & - 16 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & - 3 & - 18 & - 16 \end{array}]$

Étape 2.5

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 2.5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 18 + 3 \cdot 6 & - 16 + 3 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Étape 2.6

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $- \frac{1}{4}$ pour faire de l’entrée sur $3, 4$ un $1$ .

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Étape 2.6.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $- \frac{1}{4}$ pour faire de l’entrée sur $3, 4$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 \end{array}]$

Étape 2.6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 4 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 4$ un $0$ .

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Étape 2.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 4 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 4$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 1 - 4 \cdot 0 & 6 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.7.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.8

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 9 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 4$ un $0$ .

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Étape 2.8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 9 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 4$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 9 \cdot 0 & 2 - 9 \cdot 0 & 3 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.9

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 2.9.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 6 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.9.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 9 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$x_{1} - 9 x_{3} = 0$

$x_{2} + 6 x_{3} = 0$

$0 = 1$

Étape 4

Le système est incohérent, donc il n’y a pas de solution.

$Aucune solution$