Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] \cdot B = [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez l’inverse de

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

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Étape 1.1

L’inverse d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où

$a d - b c$ est le déterminant.

Étape 1.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 1.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Étape 1.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de

$9$ .

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Étape 1.2.2.1.1.1

Factorisez

$9$ à partir de

$27$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Étape 1.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 3) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Étape 1.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Étape 1.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 1.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot 6$

Étape 1.2.2.1.2.2

Factorisez

$3$ à partir de

$6$ .

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

Étape 1.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Étape 1.2.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$3 - 1 \cdot 2$

Étape 1.2.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$3 - 2$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez

$2$ de

$3$ .

$1$

Étape 1.3

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 1.4

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 1.5

Divisez

$1$ par

$1$ .

$1 [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 1.6

Multipliez

$1$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Étape 1.7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.7.1

Multipliez

$27$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Étape 1.7.2

Multipliez

$- 6$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Étape 1.7.3

Multipliez

$- \frac{1}{3}$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Étape 1.7.4

Multipliez

$\frac{1}{9}$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par l’inverse de

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Étape 3

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.1

Multipliez

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

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Étape 3.1.1

Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est

$2 \times 2$ et la deuxième matrice est

$2 \times 2$ .

Étape 3.1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 27 (\frac{1}{9}) - 6 (\frac{1}{3}) & 27 \cdot 6 - 6 \cdot 27 \\ - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 6 + \frac{1}{9} \cdot 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Étape 3.1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Étape 3.2

La multiplication de la matrice d’identité par toute matrice

$A$ produit la matrice

$A$ elle-même.

$B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$ .

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Étape 3.3.1

$2 \times 2$ et la deuxième matrice est

$2 \times 2$ .

Étape 3.3.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$B = [\begin{array}{c} 27 \cdot - 10 - 6 \cdot - 48 & 27 \cdot 7 - 6 \cdot 30 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 10 + \frac{1}{9} \cdot - 48 & - \frac{1}{3} \cdot 7 + \frac{1}{9} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$B = [\begin{array}{c} 18 & 9 \\ - 2 & 1 \end{array}]$