Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] \cdot F = [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez l’inverse de $[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

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Étape 1.1

L’inverse d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où $a d - b c$ est le déterminant.

Étape 1.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$32 (\frac{1}{8}) - \frac{3}{5} \cdot 10$

Étape 1.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.2.2.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$8 (4) \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

Étape 1.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot 4 \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

Étape 1.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 - \frac{3}{5} \cdot 10$

Étape 1.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{5}$ dans le numérateur.

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot 10$

Étape 1.2.2.1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (2))$

Étape 1.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

Étape 1.2.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$4 - 3 \cdot 2$

Étape 1.2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$4 - 6$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $6$ de $4$ .

$- 2$

Étape 1.3

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 1.4

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

Étape 1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

Étape 1.6

Multipliez $- \frac{1}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8 \cdot 2} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 5)) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7.2.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7.2.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - 1 \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7.4

Multipliez $- \frac{1}{2} (- \frac{3}{5})$ .

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ 1 (\frac{1}{2}) \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{2 \cdot 5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7.4.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Étape 1.7.5.2

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (16)) \end{array}]$

Étape 1.7.5.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 16) \end{array}]$

Étape 1.7.5.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 1 \cdot 16 \end{array}]$

Étape 1.7.6

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}]$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par l’inverse de $[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.1

Multipliez $[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

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Étape 3.1.1

Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est $2 \times 2$ et la deuxième matrice est $2 \times 2$ .

Étape 3.1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot 32 + 5 (\frac{3}{5}) & - \frac{1}{16} \cdot 10 + 5 (\frac{1}{8}) \\ \frac{3}{10} \cdot 32 - 16 (\frac{3}{5}) & \frac{3}{10} \cdot 10 - 16 (\frac{1}{8}) \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.2

La multiplication de la matrice d’identité par toute matrice $A$ produit la matrice $A$ elle-même.

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez $[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$ .

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Étape 3.3.1

Étape 3.3.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 80 + 5 \cdot 1 & - \frac{1}{16} \cdot 80 + 5 \cdot 2 \\ \frac{3}{10} \cdot - 80 - 16 \cdot 1 & \frac{3}{10} \cdot 80 - 16 \cdot 2 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$F = [\begin{array}{c} 10 & 5 \\ - 40 & - 8 \end{array}]$