Algèbre linéaire Exemples

5 x + 3 = 4 y

$5 x + 3 = 4 y$ ,

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Étape 1

Déplacez toutes les variables du côté gauche de chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez

4 y

$4 y$ des deux côtés de l’équation.

5 x + 3 - 4 y = 0

$5 x + 3 - 4 y = 0$

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Étape 1.2

Soustrayez

3

$3$ des deux côtés de l’équation.

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Étape 1.3

Soustrayez

8 x

$8 x$ des deux côtés de l’équation.

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

y - 8 x = - 2

$y - 8 x = - 2$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre

y

$y$ et

- 8 x

$- 8 x$ .

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

- 8 x + y = - 2

$- 8 x + y = - 2$

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

- 8 x + y = - 2

$- 8 x + y = - 2$

Étape 2

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

[\begin{matrix} 5 & - 4 - 8 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 3 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez le déterminant de la matrice des coefficients

[\begin{matrix} 5 & - 4 - 8 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ .

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Étape 3.1

Écrivez

[\begin{matrix} 5 & - 4 - 8 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ en notation de déterminant.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & - 4 - 8 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

Étape 3.3

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez

5

$5$ par

1

$1$ .

5 - (- 8 \cdot - 4)

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

Étape 3.3.1.2

Multipliez

- (- 8 \cdot - 4)

$- (- 8 \cdot - 4)$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez

- 8

$- 8$ par

- 4

$- 4$ .

5 - 1 \cdot 32

$5 - 1 \cdot 32$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

32

$32$ .

5 - 32

$5 - 32$

5 - 32

$5 - 32$

5 - 32

$5 - 32$

Étape 3.3.2

Soustrayez

32

$32$ de

5

$5$ .

- 27

$- 27$

- 27

$- 27$

D = - 27

$D = - 27$

Étape 4

Comme le déterminant n’est pas

0

$0$ , le système peut être résolu avec la règle de Cramer.

Étape 5

Déterminez la valeur de

x

$x$ par la règle de Cramer, qui stipule que

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la colonne

1

$1$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients

x

$x$ du système par

[\begin{matrix} - 3 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 4 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez

- 3

$- 3$ par

1

$1$ .

- 3 - (- 2 \cdot - 4)

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez

- (- 2 \cdot - 4)

$- (- 2 \cdot - 4)$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1

Multipliez

- 2

$- 2$ par

- 4

$- 4$ .

- 3 - 1 \cdot 8

$- 3 - 1 \cdot 8$

Étape 5.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

8

$8$ .

- 3 - 8

$- 3 - 8$

- 3 - 8

$- 3 - 8$

- 3 - 8

$- 3 - 8$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez

8

$8$ de

- 3

$- 3$ .

- 11

$- 11$

- 11

$- 11$

D_{x} = - 11

$D_{x} = - 11$

Étape 5.3

Utilisez la formule pour résoudre

x

$x$ .

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 5.4

Remplacez

D

$D$ par

- 27

$- 27$ et

D_{x}

$D_{x}$ par

- 11

$- 11$ dans la formule.

x = \frac{- 11}{- 27}

$x = \frac{- 11}{- 27}$

Étape 5.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

Étape 6

Déterminez la valeur de

y

$y$ par la règle de Cramer, qui stipule que

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 6.1

Remplacez la colonne

2

$2$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients

y

$y$ du système par

[\begin{matrix} - 3 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & - 3 - 8 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

Étape 6.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 6.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Multipliez

5

$5$ par

- 2

$- 2$ .

- 10 - (- 8 \cdot - 3)

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez

- (- 8 \cdot - 3)

$- (- 8 \cdot - 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.2.1

Multipliez

- 8

$- 8$ par

- 3

$- 3$ .

- 10 - 1 \cdot 24

$- 10 - 1 \cdot 24$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

24

$24$ .

- 10 - 24

$- 10 - 24$

- 10 - 24

$- 10 - 24$

- 10 - 24

$- 10 - 24$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez

24

$24$ de

- 10

$- 10$ .

- 34

$- 34$

- 34

$- 34$

D_{y} = - 34

$D_{y} = - 34$

Étape 6.3

Utilisez la formule pour résoudre

y

$y$ .

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 6.4

Remplacez

D

$D$ par

- 27

$- 27$ et

D_{y}

$D_{y}$ par

- 34

$- 34$ dans la formule.

y = \frac{- 34}{- 27}

$y = \frac{- 34}{- 27}$

Étape 6.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

Étape 7

Indiquez la solution au système d’équations.

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$