Algèbre linéaire Exemples

$5 x + 3 = 4 y$ , $y = 8 x - 2$

Étape 1

Déplacez toutes les variables du côté gauche de chaque équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$5 x + 3 - 4 y = 0$

$y = 8 x - 2$

Étape 1.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$5 x - 4 y = - 3$

$y = 8 x - 2$

Étape 1.3

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$5 x - 4 y = - 3$

$y - 8 x = - 2$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 8 x$ .

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

Étape 2

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez le déterminant de la matrice des coefficients $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ .

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Étape 3.1

Écrivez $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ en notation de déterminant.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

Étape 3.3

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- (- 8 \cdot - 4)$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$5 - 1 \cdot 32$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$5 - 32$

Étape 3.3.2

Soustrayez $32$ de $5$ .

$- 27$

$D = - 27$

Étape 4

Comme le déterminant n’est pas $0$ , le système peut être résolu avec la règle de Cramer.

Étape 5

Déterminez la valeur de $x$ par la règle de Cramer, qui stipule que $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la colonne $1$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients $x$ du système par $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot - 4)$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$- 3 - 1 \cdot 8$

Étape 5.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 3 - 8$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $8$ de $- 3$ .

$- 11$

$D_{x} = - 11$

Étape 5.3

Utilisez la formule pour résoudre $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 5.4

Remplacez $D$ par $- 27$ et $D_{x}$ par $- 11$ dans la formule.

$x = \frac{- 11}{- 27}$

Étape 5.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{11}{27}$

Étape 6

Déterminez la valeur de $y$ par la règle de Cramer, qui stipule que $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 6.1

Remplacez la colonne $2$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients $y$ du système par $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

Étape 6.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 6.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $- (- 8 \cdot - 3)$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Multipliez $- 8$ par $- 3$ .

$- 10 - 1 \cdot 24$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$- 10 - 24$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $24$ de $- 10$ .

$- 34$

$D_{y} = - 34$

Étape 6.3

Utilisez la formule pour résoudre $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 6.4

Remplacez $D$ par $- 27$ et $D_{y}$ par $- 34$ dans la formule.

$y = \frac{- 34}{- 27}$

Étape 6.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{34}{27}$

Étape 7

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = \frac{11}{27}$

$y = \frac{34}{27}$