Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez le déterminant.

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Étape 1.1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez n’importe quelle ligne ou colonne. Multipliez chaque élément de la colonne $2$ par son cofacteur et additionnez.

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Étape 1.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 1.1.3

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.1.4

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.1.5

Le mineur pour $a_{22}$ est le déterminant dont la ligne $2$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.1.6

Multipliez l’élément $a_{22}$ par son cofacteur.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 1.1.7

Le mineur pour $a_{32}$ est le déterminant dont la ligne $3$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.1.8

Multipliez l’élément $a_{32}$ par son cofacteur.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 1.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

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Étape 1.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Étape 1.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

Étape 1.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 0 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.5.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 3

Définissez une matrice $3 \times 6$ où la moitié de gauche est la matrice d’origine et la moitié de droite est la matrice identité.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.1

Inversez $R_{2}$ avec $R_{1}$ pour placer une entrée non nulle sur $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{6}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{6}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 4.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Étape 4.4

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- 1$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- 1$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Étape 4.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Étape 4.5

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $3$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 4.5.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $3$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Étape 4.6

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 4.6.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Étape 4.6.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Étape 4.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 4.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Étape 4.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Étape 5

La moitié droite de la forme d’échelon en ligne réduite est l’inverse.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$