Algèbre linéaire Exemples

$1 + i$

Étape 1

Calculez la distance de $(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{1^{2} + 1^{2}}$ .

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Étape 2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r = \sqrt{1 + 1^{2}}$

Étape 2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r = \sqrt{1 + 1}$

Étape 2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$r = \sqrt{2}$

Étape 3

Calculez l’angle de référence $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{1} |)$

Étape 4

Simplifiez $\arctan (| \frac{1}{1} |)$ .

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Étape 4.1

Divisez $1$ par $1$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Étape 4.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Étape 5

Le point se situe dans le premier quadrant car $x$ et $y$ sont positifs. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Quadrant $1$

Étape 6

$(a, b)$ se trouve dans le premier quadrant. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 7

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 8

Remplacez $r$ , $n$ et $θ$ dans la formule.

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Étape 8.1

Associez ${(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$

Étape 8.2

Associez $c$ et $\frac{{(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$

Étape 8.3

Associez $i$ et $\frac{c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$

Étape 8.4

Associez $s$ et $\frac{i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

Étape 8.5

Supprimez les parenthèses.

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Étape 8.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

Étape 8.5.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{3}$

Étape 8.5.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Étape 8.5.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Étape 8.5.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Étape 8.5.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Étape 8.5.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Étape 8.5.8

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Étape 9

Remplacez $k = 0$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

Étape 9.2

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 9.2.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{3})$

Étape 9.2.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{3})$

Étape 9.3

Additionnez $\frac{π}{4}$ et $0$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{3})$

Étape 9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 9.5

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 9.5.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 3})$

Étape 9.5.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

Étape 10

Remplacez $k = 1$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{3})$

Étape 10.3

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Étape 10.4

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Étape 10.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Étape 10.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.6.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{3})$

Étape 10.6.2

Additionnez $π$ et $8 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{3})$

Étape 10.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 10.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.8.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 10.8.2

Annulez le facteur commun.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 10.8.3

Réécrivez l’expression.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

Étape 11

Remplacez $k = 2$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π}{3})$

Étape 11.3

Pour écrire $4 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Étape 11.4

Associez $4 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Étape 11.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Étape 11.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.6.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 16 π}{4}}{3})$

Étape 11.6.2

Additionnez $π$ et $16 π$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{17 π}{4}}{3})$

Étape 11.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 11.8

Multipliez $\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 11.8.1

Multipliez $\frac{17 π}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4 \cdot 3})$

Étape 11.8.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$

Étape 12

Indiquez les solutions.

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$