Ensembles finis Exemples

$\log (x - 2) + \log (x + 2) > 2 \log (x - 1)$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log (x - 2) + \log (x + 2) = 2 \log (x - 1)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Étape 2.1.2

Développez $(x - 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Étape 2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.3.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Étape 2.1.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 2$ et $- 2 x$ .

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Étape 2.1.3.1.2

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Étape 2.1.3.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Étape 2.1.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 2 \log (x - 1)$

Étape 2.2

Simplifiez $2 \log (x - 1)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (x^{2} - 4) = \log ({(x - 1)}^{2})$

Étape 2.3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} - 4 = {(x - 1)}^{2}$

Étape 2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Simplifiez ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 2.4.1.1

Réécrivez.

$x^{2} - 4 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Étape 2.4.1.2

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} - 4 = (x - 1) (x - 1)$

Étape 2.4.1.3

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Étape 2.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Étape 2.4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.4.1.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.4.1.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.4.1.4.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.4.1.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x + 1$

Étape 2.4.1.4.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2 x + 1$

Étape 2.4.2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 4$

Étape 2.4.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.3.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = - 4$

Étape 2.4.3.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 2 x + 1 - x^{2}$ .

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Étape 2.4.3.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 2 x + 1 + 0 = - 4$

Étape 2.4.3.2.2

Additionnez $- 2 x + 1$ et $0$ .

$- 2 x + 1 = - 4$

Étape 2.4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.4.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 4 - 1$

Étape 2.4.4.2

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$- 2 x = - 5$

Étape 2.4.5

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 5$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 5$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Étape 2.4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Étape 2.4.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Étape 2.4.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.5.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{5}{2}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.2.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.2.4

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.2.5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.2.6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 2$

$x = 2$

$x = 1$

Étape 3.2.7

Consolidez les solutions.

$x = - 2, 2, 1$

Étape 3.2.8

Déterminez le domaine de $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

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Étape 3.2.8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2.8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.8.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.2.8.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.2.8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 3.2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Étape 3.2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 3.2.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}{{((- 4) - 1)}^{2}} > 0$

Étape 3.2.10.1.3

Le côté gauche $0.48$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.2.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.2.10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((0) + 2) ((0) - 2)}{{((0) - 1)}^{2}} > 0$

Étape 3.2.10.2.3

Le côté gauche $- 4$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.2.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.5$

Étape 3.2.10.3.2

Remplacez $x$ par $1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((1.5) + 2) ((1.5) - 2)}{{((1.5) - 1)}^{2}} > 0$

Étape 3.2.10.3.3

Le côté gauche $- 7$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.2.10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 3.2.10.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((4) + 2) ((4) - 2)}{{((4) - 1)}^{2}} > 0$

Étape 3.2.10.4.3

Le côté gauche $1.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.2.10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 1$ Faux

$1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 1$ Faux

$1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 3.2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $x > 2$

Étape 3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > \frac{5}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x > \frac{5}{2}$

Notation d’intervalle :

$(\frac{5}{2}, \infty)$

Étape 6