Ensembles finis Exemples

$8 + \frac{3}{y} > \frac{19}{y}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$(8 + \frac{3}{y}) y = \frac{19}{y} y$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $(8 + \frac{3}{y}) y$ .

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 y + \frac{3}{y} y = \frac{19}{y} y$

Étape 2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 y + \frac{3}{y} y = \frac{19}{y} y$

Étape 2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 y + 3 = \frac{19}{y} y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$8 y + 3 = \frac{19}{y} y$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$8 y + 3 = 19$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$8 y = 19 - 3$

Étape 3.1.2

Soustrayez $3$ de $19$ .

$8 y = 16$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $8 y = 16$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $8 y = 16$ par $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{16}{8}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y}{8} = \frac{16}{8}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{16}{8}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $16$ par $8$ .

$y = 2$

Étape 4

Déterminez le domaine de $8 - \frac{16}{y}$ .

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{16}{y}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$y = 0$

Étape 4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$y < 0$

$0 < y < 2$

$y > 2$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $y < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = - 2$

Étape 6.1.2

Remplacez $y$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$8 + \frac{3}{- 2} > \frac{19}{- 2}$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $6.5$ est supérieur au côté droit $- 9.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < y < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < y < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 1$

Étape 6.2.2

Remplacez $y$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$8 + \frac{3}{1} > \frac{19}{1}$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $11$ n’est pas supérieur au côté droit $19$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $y > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 4$

Étape 6.3.2

Remplacez $y$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$8 + \frac{3}{4} > \frac{19}{4}$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $8.75$ est supérieur au côté droit $4.75$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$y < 0$ Vrai

$0 < y < 2$ Faux

$y > 2$ Vrai

$y < 0$ Vrai

$0 < y < 2$ Faux

$y > 2$ Vrai

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$y < 0$ ou $y > 2$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$y < 0 or y > 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$

Étape 9