Ensembles finis Exemples

x^{2} + 2 x > 0

$x^{2} + 2 x > 0$

Étape 1

Résolvez

x < - 2 or x > 0

$x < - 2 or x > 0$ .

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Étape 1.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

x^{2} + 2 x = 0

$x^{2} + 2 x = 0$

Étape 1.2

Factorisez

x

$x$ à partir de

x^{2} + 2 x

$x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez

x

$x$ à partir de

x^{2}

$x^{2}$ .

x \cdot x + 2 x = 0

$x \cdot x + 2 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez

x

$x$ à partir de

2 x

$2 x$ .

x \cdot x + x \cdot 2 = 0

$x \cdot x + x \cdot 2 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez

x

$x$ à partir de

x \cdot x + x \cdot 2

$x \cdot x + x \cdot 2$ .

x (x + 2) = 0

$x (x + 2) = 0$

x (x + 2) = 0

$x (x + 2) = 0$

Étape 1.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Étape 1.4

Définissez

x

$x$ égal à

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

Étape 1.5

Définissez

x + 2

$x + 2$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 1.5.1

Définissez

x + 2

$x + 2$ égal à

0

$0$ .

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Étape 1.5.2

Soustrayez

2

$2$ des deux côtés de l’équation.

x = - 2

$x = - 2$

x = - 2

$x = - 2$

Étape 1.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

x (x + 2) = 0

$x (x + 2) = 0$ vraie.

x = 0, - 2

$x = 0, - 2$

Étape 1.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

x < - 2

$x < - 2$

- 2 < x < 0

$- 2 < x < 0$

x > 0

$x > 0$

Étape 1.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle

x < - 2

$x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

x < - 2

$x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = - 4

$x = - 4$

Étape 1.8.1.2

Remplacez

x

$x$ par

- 4

$- 4$ dans l’inégalité d’origine.

{(- 4)}^{2} + 2 (- 4) > 0

${(- 4)}^{2} + 2 (- 4) > 0$

Étape 1.8.1.3

Le côté gauche

8

$8$ est supérieur au côté droit

0

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle

- 2 < x < 0

$- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

- 2 < x < 0

$- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = - 1

$x = - 1$

Étape 1.8.2.2

Remplacez

x

$x$ par

- 1

$- 1$ dans l’inégalité d’origine.

{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) > 0

${(- 1)}^{2} + 2 (- 1) > 0$

Étape 1.8.2.3

Le côté gauche

- 1

$- 1$ n’est pas supérieur au côté droit

0

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle

x > 0

$x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

x > 0

$x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

x = 2

$x = 2$

Étape 1.8.3.2

Remplacez

x

$x$ par

2

$2$ dans l’inégalité d’origine.

{(2)}^{2} + 2 (2) > 0

${(2)}^{2} + 2 (2) > 0$

Étape 1.8.3.3

Le côté gauche

8

$8$ est supérieur au côté droit

0

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

x < - 2

$x < - 2$ Vrai

- 2 < x < 0

$- 2 < x < 0$ Faux

x > 0

$x > 0$ Vrai

x < - 2

$x < - 2$ Vrai

- 2 < x < 0

$- 2 < x < 0$ Faux

x > 0

$x > 0$ Vrai

Étape 1.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

x < - 2

$x < - 2$ ou

x > 0

$x > 0$

x < - 2

$x < - 2$ ou

x > 0

$x > 0$

Étape 2

Utilisez l’inégalité

x < - 2 or x > 0

$x < - 2 or x > 0$ pour créer la notation de l’ensemble.

{x | x < - 2 or x > 0}

${x | x < - 2 or x > 0}$

Étape 3