Ensembles finis Exemples

$5000 = \frac{100 ({(1.01)}^{n} - 1)}{0.01}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $0.01$ .

$5000 \cdot 0.01 = \frac{100 ({1.01}^{n} - 1)}{0.01} \cdot 0.01$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Multipliez $5000$ par $0.01$ .

$50 = \frac{100 ({1.01}^{n} - 1)}{0.01} \cdot 0.01$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{100 ({1.01}^{n} - 1)}{0.01} \cdot 0.01$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $0.01$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$50 = \frac{100 ({1.01}^{n} - 1)}{0.01} \cdot 0.01$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$50 = 100 ({1.01}^{n} - 1)$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$50 = 100 \cdot {1.01}^{n} + 100 \cdot - 1$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $100$ par $- 1$ .

$50 = 100 \cdot {1.01}^{n} - 100$

Étape 3

Résolvez $n$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $100 \cdot {1.01}^{n} - 100 = 50$ .

$100 \cdot {1.01}^{n} - 100 = 50$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $n$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Ajoutez $100$ aux deux côtés de l’équation.

$100 \cdot {1.01}^{n} = 50 + 100$

Étape 3.2.2

Additionnez $50$ et $100$ .

$100 \cdot {1.01}^{n} = 150$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $100 \cdot {1.01}^{n} = 150$ par $100$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $100 \cdot {1.01}^{n} = 150$ par $100$ .

$\frac{100 \cdot {1.01}^{n}}{100} = \frac{150}{100}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $100$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{100 \cdot {1.01}^{n}}{100} = \frac{150}{100}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez ${1.01}^{n}$ par $1$ .

${1.01}^{n} = \frac{150}{100}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun à $150$ et $100$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $50$ à partir de $150$ .

${1.01}^{n} = \frac{50 (3)}{100}$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Factorisez $50$ à partir de $100$ .

${1.01}^{n} = \frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

${1.01}^{n} = \frac{50 \cdot 3}{50 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

${1.01}^{n} = \frac{3}{2}$

Étape 3.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({1.01}^{n}) = \ln (\frac{3}{2})$

Étape 3.5

Développez $\ln ({1.01}^{n})$ en déplaçant $n$ hors du logarithme.

$n \ln (1.01) = \ln (\frac{3}{2})$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $n \ln (1.01) = \ln (\frac{3}{2})$ par $\ln (1.01)$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $n \ln (1.01) = \ln (\frac{3}{2})$ par $\ln (1.01)$ .

$\frac{n \ln (1.01)}{\ln (1.01)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (1.01)}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (1.01)$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n \ln (1.01)}{\ln (1.01)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (1.01)}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $n$ par $1$ .

$n = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (1.01)}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$n = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (1.01)}$

Forme décimale :

$n = 40.74890715 \dots$