Ensembles finis Exemples

$| \frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y} | = 2 + 2 i$

Étape 1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y} = \pm (2 + 2 i)$

Étape 2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i$

Étape 2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez ${(1 + i)}^{2}$ comme $(1 + i) (1 + i)$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{(1 + i) (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.2

Développez $(1 + i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 (1 + i) + i (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.3.1.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.3.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i + i i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.3.1.4

Multipliez $i i$ .

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Étape 2.2.2.3.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i + i^{1} i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i + i^{1} i^{1}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i + i^{1 + 1}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i + i^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1 + i + i - 1}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{0 + i + i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.3.3

Additionnez $0$ et $i$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{i + i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.3.4

Additionnez $i$ et $i$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.2.2.4

Réécrivez ${(1 - i)}^{2}$ comme $(1 - i) (1 - i)$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{(1 - i) (1 - i)}$

Étape 2.2.2.5

Développez $(1 - i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 (1 - i) - i (1 - i)}$

Étape 2.2.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) - i (1 - i)}$

Étape 2.2.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i)}$

Étape 2.2.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i)}$

Étape 2.2.2.6.1.2

Multipliez $- i$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i \cdot 1 - i (- i)}$

Étape 2.2.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i - i (- i)}$

Étape 2.2.2.6.1.4

Multipliez $- i (- i)$ .

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Étape 2.2.2.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 i i}$

Étape 2.2.2.6.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 (i^{1} i)}$

Étape 2.2.2.6.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.2.2.6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 i^{1 + 1}}$

Étape 2.2.2.6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 i^{2}}$

Étape 2.2.2.6.1.4.6

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + i^{2}}$

Étape 2.2.2.6.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i - 1}$

Étape 2.2.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{0 - i - i}$

Étape 2.2.2.6.3

Soustrayez $i$ de $0$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{- i - i}$

Étape 2.2.2.6.4

Soustrayez $i$ de $- i$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{- 2 i}$

Étape 2.2.2.7

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 2$ .

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Étape 2.2.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 i$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 (i)}{- 2 i}$

Étape 2.2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 (i)}{2 (- i)}$

Étape 2.2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{2 i}{2 (- i)}$

Étape 2.2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{i}{- i}$

Étape 2.2.2.8

Annulez le facteur commun de $i$ .

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Étape 2.2.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{i}{- i}$

Étape 2.2.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - \frac{1}{- 1}$

Étape 2.2.2.8.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.2.2.9

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 2.2.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i - - 1$

Étape 2.2.2.9.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 2 + 2 i + 1$

Étape 2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = 3 + 2 i$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x + i y, 1, 1$

Étape 2.3.2

Supprimez les parenthèses.

$x + i y, 1, 1$

Étape 2.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + i y$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{x + i y} = 3 + 2 i$ par $x + i y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{x + i y} = 3 + 2 i$ par $x + i y$ .

$\frac{2}{x + i y} (x + i y) = 3 (x + i y) + 2 i (x + i y)$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x + i y$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x + i y} (x + i y) = 3 (x + i y) + 2 i (x + i y)$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = 3 (x + i y) + 2 i (x + i y)$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 = 3 x + 3 (i y) + 2 i (x + i y)$

Étape 2.4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x + 2 i (i y)$

Étape 2.4.3.1.3

Multipliez $2 i (i y)$ .

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Étape 2.4.3.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x + 2 (i^{1} i) y$

Étape 2.4.3.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x + 2 (i^{1} i^{1}) y$

Étape 2.4.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x + 2 i^{1 + 1} y$

Étape 2.4.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x + 2 i^{2} y$

Étape 2.4.3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x + 2 \cdot - 1 y$

Étape 2.4.3.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 = 3 x + 3 i y + 2 i x - 2 y$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $3 x + 3 i y + 2 i x - 2 y = 2$ .

$3 x + 3 i y + 2 i x - 2 y = 2$

Étape 2.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $3 i y$ des deux côtés de l’équation.

$3 x + 2 i x - 2 y = 2 - 3 i y$

Étape 2.5.2.2

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x + 2 i x = 2 - 3 i y + 2 y$

Étape 2.5.3

Factorisez $x$ à partir de $3 x + 2 i x$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$x \cdot 3 + 2 i x = 2 - 3 i y + 2 y$

Étape 2.5.3.2

Factorisez $x$ à partir de $2 i x$ .

$x \cdot 3 + x (2 i) = 2 - 3 i y + 2 y$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 3 + x (2 i)$ .

$x (3 + 2 i) = 2 - 3 i y + 2 y$

Étape 2.5.4

Divisez chaque terme dans $x (3 + 2 i) = 2 - 3 i y + 2 y$ par $3 + 2 i$ et simplifiez.

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Étape 2.5.4.1

Divisez chaque terme dans $x (3 + 2 i) = 2 - 3 i y + 2 y$ par $3 + 2 i$ .

$\frac{x (3 + 2 i)}{3 + 2 i} = \frac{2}{3 + 2 i} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 + 2 i$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 + 2 i)}{3 + 2 i} = \frac{2}{3 + 2 i} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3 + 2 i} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.3.1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2}{3 + 2 i}$ par le conjugué de $3 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = \frac{2}{3 + 2 i} \cdot \frac{3 - 2 i}{3 - 2 i} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2

Multipliez.

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Étape 2.5.4.3.1.2.1

Associez.

$x = \frac{2 (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 + 2 (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.2.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.3.1.2.3.1

Développez $(3 + 2 i) (3 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.4.3.1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6 - 4 i}{3 (3 - 2 i) + 2 i (3 - 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6 - 4 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i (3 - 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6 - 4 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.5.4.3.1.2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 6 i + 2 i (- 2 i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i i} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i)} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i^{1})} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{1 + 1}} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{2}} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.2.9

Additionnez $- 6 i$ et $6 i$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 + 0 - 4 i^{2}} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 4 i^{2}} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.3.1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 - 4 \cdot - 1} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{9 + 4} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.2.3.4

Additionnez $9$ et $4$ .

$x = \frac{6 - 4 i}{13} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.3

Divisez la fraction $\frac{6 - 4 i}{13}$ en deux fractions.

$x = \frac{6}{13} + \frac{- 4 i}{13} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 3 i y}{3 + 2 i}$ par le conjugué de $3 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 3 i y}{3 + 2 i} \cdot \frac{3 - 2 i}{3 - 2 i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.6.1

Associez.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 3 i y (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 3 i y \cdot 3 - 3 i y (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.2.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 3 i y (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.2.3

Multipliez $- 3 i y (- 2 i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.6.2.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y + 6 i y i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y + 6 y (i^{1} i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.2.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y + 6 y (i^{1} i^{1})}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y + 6 y i^{1 + 1}}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y + 6 y i^{2}}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.3.1.6.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y + 6 y \cdot - 1}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.3.1.6.3.1

Développez $(3 + 2 i) (3 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.6.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{3 (3 - 2 i) + 2 i (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i (3 - 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.6.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 6 i + 2 i (- 2 i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 6 i - 4 i i} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i)} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i^{1})} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{1 + 1}} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{2}} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.2.9

Additionnez $- 6 i$ et $6 i$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 + 0 - 4 i^{2}} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 4 i^{2}} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.6.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 - 4 \cdot - 1} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{9 + 4} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.6.3.4

Additionnez $9$ et $4$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{- 9 i y - 6 y}{13} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.7

Factorisez $3 y$ à partir de $- 9 i y - 6 y$ .

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Étape 2.5.4.3.1.7.1

Factorisez $3 y$ à partir de $- 9 i y$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i) - 6 y}{13} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.7.2

Factorisez $3 y$ à partir de $- 6 y$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i) + 3 y (- 2)}{13} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.7.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y (- 3 i) + 3 y (- 2)$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y}{3 + 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.8

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 y}{3 + 2 i}$ par le conjugué de $3 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y}{3 + 2 i} \cdot \frac{3 - 2 i}{3 - 2 i}$

Étape 2.5.4.3.1.9

Multipliez.

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Étape 2.5.4.3.1.9.1

Associez.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.5.4.3.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.3.1.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y \cdot 3 + 2 y (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.5.4.3.1.9.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y + 2 y (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.5.4.3.1.9.2.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.9.3.1

Développez $(3 + 2 i) (3 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.9.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{3 (3 - 2 i) + 2 i (3 - 2 i)}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i (3 - 2 i)}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.9.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 6 i + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i i}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{2}}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.2.9

Additionnez $- 6 i$ et $6 i$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 4 i^{2}}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.3.1.9.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 - 4 \cdot - 1}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{9 + 4}$

Étape 2.5.4.3.1.9.3.4

Additionnez $9$ et $4$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{6 y - 4 y i}{13}$

Étape 2.5.4.3.1.10

Factorisez $2 y$ à partir de $6 y - 4 y i$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.10.1

Factorisez $2 y$ à partir de $6 y$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y (3) - 4 y i}{13}$

Étape 2.5.4.3.1.10.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 4 y i$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y (3) + 2 y (- 2 i)}{13}$

Étape 2.5.4.3.1.10.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (3) + 2 y (- 2 i)$ .

$x = \frac{6}{13} - \frac{4 i}{13} + \frac{3 y (- 3 i - 2)}{13} + \frac{2 y (3 - 2 i)}{13}$

Étape 2.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{6 - 4 i + 3 y (- 3 i - 2) + 2 y (3 - 2 i)}{13}$

Étape 2.5.4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6 - 4 i + 3 y (- 3 i) + 3 y \cdot - 2 + 2 y (3 - 2 i)}{13}$

Étape 2.5.4.3.3.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i + 3 y \cdot - 2 + 2 y (3 - 2 i)}{13}$

Étape 2.5.4.3.3.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i - 6 y + 2 y (3 - 2 i)}{13}$

Étape 2.5.4.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i - 6 y + 2 y \cdot 3 + 2 y (- 2 i)}{13}$

Étape 2.5.4.3.3.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i - 6 y + 6 y + 2 y (- 2 i)}{13}$

Étape 2.5.4.3.3.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i - 6 y + 6 y - 4 y i}{13}$

Étape 2.5.4.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.5.4.3.4.1

Associez les termes opposés dans $6 - 4 i - 9 y i - 6 y + 6 y - 4 y i$ .

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Étape 2.5.4.3.4.1.1

Additionnez $- 6 y$ et $6 y$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i + 0 - 4 y i}{13}$

Étape 2.5.4.3.4.1.2

Additionnez $6 - 4 i - 9 y i$ et $0$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 9 y i - 4 y i}{13}$

Étape 2.5.4.3.4.2

Soustrayez $4 y i$ de $- 9 y i$ .

$x = \frac{6 - 4 i - 13 y i}{13}$

Étape 2.5.4.3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{- 13 i y + 6 - 4 i}{13}$

Étape 2.5.4.3.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 13 i y$ .

$x = \frac{- (13 i y) + 6 - 4 i}{13}$

Étape 2.5.4.3.4.5

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$x = \frac{- (13 i y) - 1 (- 6) - 4 i}{13}$

Étape 2.5.4.3.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (13 i y) - 1 (- 6)$ .

$x = \frac{- (13 i y - 6) - 4 i}{13}$

Étape 2.5.4.3.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 i$ .

$x = \frac{- (13 i y - 6) - (4 i)}{13}$

Étape 2.5.4.3.4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (13 i y - 6) - (4 i)$ .

$x = \frac{- (13 i y - 6 + 4 i)}{13}$

Étape 2.5.4.3.4.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.3.4.9.1

Réécrivez $- (13 i y - 6 + 4 i)$ comme $- 1 (13 i y - 6 + 4 i)$ .

$x = \frac{- 1 (13 i y - 6 + 4 i)}{13}$

Étape 2.5.4.3.4.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{13 i y - 6 + 4 i}{13}$

Étape 2.6

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y} = - (2 + 2 i)$

Étape 2.7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.7.1

Soustrayez $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{x + i y} = - (2 + 2 i) - \frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = - 1 \cdot 2 - (2 i) - \frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - (2 i) - \frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.4

Réécrivez ${(1 + i)}^{2}$ comme $(1 + i) (1 + i)$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{(1 + i) (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.5

Développez $(1 + i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.7.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{1 (1 + i) + i (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.6.1.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{1 + i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.6.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{1 + i + i + i i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.6.1.4

Multipliez $i i$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.6.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{1 + i + i + i^{1} i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.6.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{1 + i + i + i^{1} i^{1}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.6.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{1 + i + i + i^{1 + 1}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.6.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{1 + i + i + i^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.6.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{1 + i + i - 1}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{0 + i + i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.6.3

Additionnez $0$ et $i$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{i + i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.6.4

Additionnez $i$ et $i$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 2.7.2.7

Réécrivez ${(1 - i)}^{2}$ comme $(1 - i) (1 - i)$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{(1 - i) (1 - i)}$

Étape 2.7.2.8

Développez $(1 - i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 (1 - i) - i (1 - i)}$

Étape 2.7.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) - i (1 - i)}$

Étape 2.7.2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i)}$

Étape 2.7.2.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.9.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i)}$

Étape 2.7.2.9.1.2

Multipliez $- i$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i \cdot 1 - i (- i)}$

Étape 2.7.2.9.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i - i (- i)}$

Étape 2.7.2.9.1.4

Multipliez $- i (- i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.9.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 i i}$

Étape 2.7.2.9.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 (i^{1} i)}$

Étape 2.7.2.9.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.7.2.9.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 i^{1 + 1}}$

Étape 2.7.2.9.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + 1 i^{2}}$

Étape 2.7.2.9.1.4.6

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i + i^{2}}$

Étape 2.7.2.9.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{1 - i - i - 1}$

Étape 2.7.2.9.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{0 - i - i}$

Étape 2.7.2.9.3

Soustrayez $i$ de $0$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{- i - i}$

Étape 2.7.2.9.4

Soustrayez $i$ de $- i$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{- 2 i}$

Étape 2.7.2.10

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 2$ .

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Étape 2.7.2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $2 i$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 (i)}{- 2 i}$

Étape 2.7.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.2.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 (i)}{2 (- i)}$

Étape 2.7.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{2 i}{2 (- i)}$

Étape 2.7.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{i}{- i}$

Étape 2.7.2.11

Annulez le facteur commun de $i$ .

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Étape 2.7.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{i}{- i}$

Étape 2.7.2.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - \frac{1}{- 1}$

Étape 2.7.2.11.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.7.2.12

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 2.7.2.12.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i - - 1$

Étape 2.7.2.12.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 2 - 2 i + 1$

Étape 2.7.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{2}{x + i y} = - 1 - 2 i$

Étape 2.8

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.8.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x + i y, 1, 1$

Étape 2.8.2

Supprimez les parenthèses.

$x + i y, 1, 1$

Étape 2.8.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + i y$

Étape 2.9

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{x + i y} = - 1 - 2 i$ par $x + i y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.9.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{x + i y} = - 1 - 2 i$ par $x + i y$ .

$\frac{2}{x + i y} (x + i y) = - (x + i y) - 2 i (x + i y)$

Étape 2.9.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Annulez le facteur commun de $x + i y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x + i y} (x + i y) = - (x + i y) - 2 i (x + i y)$

Étape 2.9.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = - (x + i y) - 2 i (x + i y)$

Étape 2.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.9.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 = - x - (i y) - 2 i (x + i y)$

Étape 2.9.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 = - x - i y - 2 i x - 2 i (i y)$

Étape 2.9.3.1.3

Multipliez $- 2 i (i y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.3.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 = - x - i y - 2 i x - 2 (i^{1} i) y$

Étape 2.9.3.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 = - x - i y - 2 i x - 2 (i^{1} i^{1}) y$

Étape 2.9.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 = - x - i y - 2 i x - 2 i^{1 + 1} y$

Étape 2.9.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 = - x - i y - 2 i x - 2 i^{2} y$

Étape 2.9.3.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.3.1.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 = - x - i y - 2 i x - 2 \cdot - 1 y$

Étape 2.9.3.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 = - x - i y - 2 i x + 2 y$

Étape 2.10

Résolvez l’équation.

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Étape 2.10.1

Réécrivez l’équation comme $- x - i y - 2 i x + 2 y = 2$ .

$- x - i y - 2 i x + 2 y = 2$

Étape 2.10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.10.2.1

Ajoutez $i y$ aux deux côtés de l’équation.

$- x - 2 i x + 2 y = 2 + i y$

Étape 2.10.2.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$- x - 2 i x = 2 + i y - 2 y$

Étape 2.10.3

Factorisez $x$ à partir de $- x - 2 i x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x \cdot - 1 - 2 i x = 2 + i y - 2 y$

Étape 2.10.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 i x$ .

$x \cdot - 1 + x (- 2 i) = 2 + i y - 2 y$

Étape 2.10.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot - 1 + x (- 2 i)$ .

$x (- 1 - 2 i) = 2 + i y - 2 y$

Étape 2.10.4

Divisez chaque terme dans $x (- 1 - 2 i) = 2 + i y - 2 y$ par $- 1 - 2 i$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.1

Divisez chaque terme dans $x (- 1 - 2 i) = 2 + i y - 2 y$ par $- 1 - 2 i$ .

$\frac{x (- 1 - 2 i)}{- 1 - 2 i} = \frac{2}{- 1 - 2 i} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 1 - 2 i$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 1 - 2 i)}{- 1 - 2 i} = \frac{2}{- 1 - 2 i} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{- 1 - 2 i} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2}{- 1 - 2 i}$ par le conjugué de $- 1 - 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = \frac{2}{- 1 - 2 i} \cdot \frac{- 1 + 2 i}{- 1 + 2 i} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1.2.1

Associez.

$x = \frac{2 (- 1 + 2 i)}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 \cdot - 1 + 2 (2 i)}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 + 2 (2 i)}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1.2.3.1

Développez $(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 2 + 4 i}{- 1 (- 1 + 2 i) - 2 i (- 1 + 2 i)} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 2 + 4 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 i) - 2 i (- 1 + 2 i)} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 2 + 4 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 i) - 2 i \cdot - 1 - 2 i (2 i)} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1.2.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{1 - 1 (2 i) - 2 i \cdot - 1 - 2 i (2 i)} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{1 - 2 i - 2 i \cdot - 1 - 2 i (2 i)} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{1 - 2 i + 2 i - 2 i (2 i)} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i i} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i)} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i^{1})} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{- 2 + 4 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{1 + 1}} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{2}} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.2.9

Additionnez $- 2 i$ et $2 i$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{1 + 0 - 4 i^{2}} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{1 - 4 i^{2}} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.4.3.1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{1 - 4 \cdot - 1} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{1 + 4} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.2.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i}{5} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.3

Divisez la fraction $\frac{- 2 + 4 i}{5}$ en deux fractions.

$x = \frac{- 2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{i y}{- 1 - 2 i}$ par le conjugué de $- 1 - 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{i y}{- 1 - 2 i} \cdot \frac{- 1 + 2 i}{- 1 + 2 i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1.6.1

Associez.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{i y (- 1 + 2 i)}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{i y \cdot - 1 + i y (2 i)}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $i y$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- 1 \cdot (i y) + i y (2 i)}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.2.3

Multipliez $i y (2 i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1.6.2.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- 1 \cdot (i y) + y (2 (i^{1} i))}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- 1 \cdot (i y) + y (2 (i^{1} i^{1}))}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- 1 \cdot (i y) + y (2 i^{1 + 1})}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- 1 \cdot (i y) + y (2 i^{2})}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.4.3.1.6.2.4.1

Réécrivez $- 1 (i y)$ comme $- (i y)$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- (i y) + y (2 i^{2})}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.2.4.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y + y (2 \cdot - 1)}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.2.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y + y \cdot - 2}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.2.4.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.4.3.1.6.3.1

Développez $(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.4.3.1.6.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{- 1 (- 1 + 2 i) - 2 i (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 i) - 2 i (- 1 + 2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 i) - 2 i \cdot - 1 - 2 i (2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1.6.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{1 - 1 (2 i) - 2 i \cdot - 1 - 2 i (2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{1 - 2 i - 2 i \cdot - 1 - 2 i (2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{1 - 2 i + 2 i - 2 i (2 i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{1 - 2 i + 2 i - 4 i i} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i)} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i^{1})} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{1 + 1}} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{2}} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.2.9

Additionnez $- 2 i$ et $2 i$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{1 + 0 - 4 i^{2}} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{1 - 4 i^{2}} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.4.3.1.6.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{1 - 4 \cdot - 1} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{1 + 4} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.6.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{- i y - 2 y}{5} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.7

Factorisez $y$ à partir de $- i y - 2 y$ .

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Étape 2.10.4.3.1.7.1

Factorisez $y$ à partir de $- i y$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i) - 2 y}{5} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.7.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i) + y \cdot - 2}{5} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.7.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- i) + y \cdot - 2$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.8

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 2 y}{- 1 - 2 i}$ par le conjugué de $- 1 - 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{- 2 y}{- 1 - 2 i} \cdot \frac{- 1 + 2 i}{- 1 + 2 i}$

Étape 2.10.4.3.1.9

Multipliez.

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Étape 2.10.4.3.1.9.1

Associez.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{- 2 y (- 1 + 2 i)}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)}$

Étape 2.10.4.3.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.4.3.1.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{- 2 y \cdot - 1 - 2 y (2 i)}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)}$

Étape 2.10.4.3.1.9.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 2 y (2 i)}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)}$

Étape 2.10.4.3.1.9.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.4.3.1.9.3.1

Développez $(- 1 - 2 i) (- 1 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1.9.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{- 1 (- 1 + 2 i) - 2 i (- 1 + 2 i)}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 i) - 2 i (- 1 + 2 i)}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 i) - 2 i \cdot - 1 - 2 i (2 i)}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.3.1.9.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{1 - 1 (2 i) - 2 i \cdot - 1 - 2 i (2 i)}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{1 - 2 i - 2 i \cdot - 1 - 2 i (2 i)}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{1 - 2 i + 2 i - 2 i (2 i)}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i i}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{2}}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.2.9

Additionnez $- 2 i$ et $2 i$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{1 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{1 - 4 i^{2}}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.4.3.1.9.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{1 - 4 \cdot - 1}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{1 + 4}$

Étape 2.10.4.3.1.9.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y - 4 y i}{5}$

Étape 2.10.4.3.1.10

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y - 4 y i$ .

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Étape 2.10.4.3.1.10.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y (1) - 4 y i}{5}$

Étape 2.10.4.3.1.10.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 4 y i$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y (1) + 2 y (- 2 i)}{5}$

Étape 2.10.4.3.1.10.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (1) + 2 y (- 2 i)$ .

$x = - \frac{2}{5} + \frac{4 i}{5} + \frac{y (- i - 2)}{5} + \frac{2 y (1 - 2 i)}{5}$

Étape 2.10.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 2 + 4 i + y (- i - 2) + 2 y (1 - 2 i)}{5}$

Étape 2.10.4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 2 + 4 i + y (- i) + y \cdot - 2 + 2 y (1 - 2 i)}{5}$

Étape 2.10.4.3.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i + y (- i) - 2 \cdot y + 2 y (1 - 2 i)}{5}$

Étape 2.10.4.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 2 + 4 i + y (- i) - 2 y + 2 y \cdot 1 + 2 y (- 2 i)}{5}$

Étape 2.10.4.3.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i + y (- i) - 2 y + 2 y + 2 y (- 2 i)}{5}$

Étape 2.10.4.3.3.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i + y (- i) - 2 y + 2 y - 4 y i}{5}$

Étape 2.10.4.3.4

Associez les termes opposés dans $- 2 + 4 i + y (- i) - 2 y + 2 y - 4 y i$ .

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Étape 2.10.4.3.4.1

Additionnez $- 2 y$ et $2 y$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i + y (- i) + 0 - 4 y i}{5}$

Étape 2.10.4.3.4.2

Additionnez $- 2 + 4 i + y (- i)$ et $0$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i + y (- i) - 4 y i}{5}$

Étape 2.10.4.3.5

Soustrayez $4 y i$ de $y (- i)$ .

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Étape 2.10.4.3.5.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 1$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i - 1 \cdot y i - 4 y i}{5}$

Étape 2.10.4.3.5.2

Soustrayez $4 y i$ de $- 1 \cdot y i$ .

$x = \frac{- 2 + 4 i - 5 y i}{5}$

Étape 2.10.4.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{- 5 i y - 2 + 4 i}{5}$

Étape 2.10.4.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 i y$ .

$x = \frac{- (5 i y) - 2 + 4 i}{5}$

Étape 2.10.4.3.8

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- (5 i y) - 1 (2) + 4 i}{5}$

Étape 2.10.4.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 i y) - 1 (2)$ .

$x = \frac{- (5 i y + 2) + 4 i}{5}$

Étape 2.10.4.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $4 i$ .

$x = \frac{- (5 i y + 2) - (- 4 i)}{5}$

Étape 2.10.4.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 i y + 2) - (- 4 i)$ .

$x = \frac{- (5 i y + 2 - 4 i)}{5}$

Étape 2.10.4.3.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.4.3.12.1

Réécrivez $- (5 i y + 2 - 4 i)$ comme $- 1 (5 i y + 2 - 4 i)$ .

$x = \frac{- 1 (5 i y + 2 - 4 i)}{5}$

Étape 2.10.4.3.12.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 i y + 2 - 4 i}{5}$

Étape 2.11

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = - \frac{13 i y - 6 + 4 i}{13}$

$x = - \frac{5 i y + 2 - 4 i}{5}$

$x = - \frac{13 i y - 6 + 4 i}{13}$

$x = - \frac{5 i y + 2 - 4 i}{5}$