Ensembles finis Exemples

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} - 11 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} - 11 (x) - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $4$ plus $- 15$

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} + (4 - 15) x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} + 4 x - 15 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x^{2} + 4 x) - 15 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x^{2} + 13}{x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4)} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 4$ .

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Étape 1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} - \frac{2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(3 x + 4) (x - 5), x - 5, 3 x + 4$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $3 x + 4$ est $3 x + 4$ lui-même.

$(3 x + 4) = 3 x + 4$

$(3 x + 4)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $x - 5$ est $x - 5$ lui-même.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $3 x + 4$ est $3 x + 4$ lui-même.

$(3 x + 4) = 3 x + 4$

$(3 x + 4)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le plus petit multiple commun de $3 x + 4, x - 5, x - 5, 3 x + 4$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(3 x + 4) (x - 5)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} - \frac{2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$ par $(3 x + 4) (x - 5)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} - \frac{2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$ par $(3 x + 4) (x - 5)$ .

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} ((3 x + 4) (x - 5)) - \frac{2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $(3 x + 4) (x - 5)$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + 13}{(3 x + 4) (x - 5)} ((3 x + 4) (x - 5)) - \frac{2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 13 - \frac{2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x - 5}$ dans le numérateur.

$x^{2} + 13 + \frac{- 2}{x - 5} ((3 x + 4) (x - 5)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Étape 3.2.1.2.2

Factorisez $x - 5$ à partir de $(3 x + 4) (x - 5)$ .

$x^{2} + 13 + \frac{- 2}{x - 5} ((x - 5) (3 x + 4)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Étape 3.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 13 + \frac{- 2}{x - 5} ((x - 5) (3 x + 4)) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Étape 3.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 13 - 2 (3 x + 4) = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 13 - 2 (3 x) - 2 \cdot 4 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$x^{2} + 13 - 6 x - 2 \cdot 4 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$x^{2} + 13 - 6 x - 8 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Étape 3.2.2

Soustrayez $8$ de $13$ .

$x^{2} - 6 x + 5 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $3 x + 4$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 6 x + 5 = \frac{2}{3 x + 4} ((3 x + 4) (x - 5))$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 6 x + 5 = 2 (x - 5)$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 6 x + 5 = 2 x + 2 \cdot - 5$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$x^{2} - 6 x + 5 = 2 x - 10$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 6 x + 5 - 2 x = - 10$

Étape 4.1.2

Soustrayez $2 x$ de $- 6 x$ .

$x^{2} - 8 x + 5 = - 10$

Étape 4.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 8 x + 5 + 10 = 0$

Étape 4.3

Additionnez $5$ et $10$ .

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$

Étape 4.4

Factorisez $x^{2} - 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x - 3) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.7

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.7.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 5, 3$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{x^{2} + 13}{3 x^{2} - 11 x - 20} + \frac{- 2}{x - 5} = \frac{2}{3 x + 4}$ vrai.

$x = 3$