Ensembles finis Exemples

$\sqrt[6]{4 - x^{2} - 3 x}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt[6]{4 - x^{2} - 3 x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 - x^{2} - 3 x < 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$4 - x^{2} - 3 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $4 - x^{2} - 3 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Déplacez $4$ .

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (3 x)$ .

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ .

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 1) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 1, - 4$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$x > 1$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$4 - {(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 < 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $- 14$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$4 - {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 < 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $4$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 - {(4)}^{2} - 3 \cdot 4 < 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $- 24$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 4$ ou $x > 1$

Étape 3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < - 4, x > 1$

$(- \infty, - 4) \cup (1, \infty)$

Étape 4