Ensembles finis Exemples

$\sqrt{1 + \sqrt{x}} \sqrt{1 - \sqrt{x}} \sqrt{1 - \sqrt{x}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 2

Définissez le radicande dans $\sqrt{1 + \sqrt{x}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 + \sqrt{x} < 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{x} < - 1$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x}}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} < {(- 1)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$x < {(- 1)}^{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x < 1$

Étape 3.4

Déterminez le domaine de $1 + \sqrt{x}$ .

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Étape 3.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 3.4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 3.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 3.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 3.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \sqrt{- 2} < 0$

Étape 3.6.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 3.6.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \sqrt{0.5} < 0$

Étape 3.6.2.3

Le côté gauche $1.70710678$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 3.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \sqrt{4} < 0$

Étape 3.6.3.3

Le côté gauche $3$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Faux

Étape 3.7

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution

Étape 4

Définissez le radicande dans $\sqrt{1 - \sqrt{x}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - \sqrt{x} < 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \sqrt{x} < - 1$

Étape 5.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(- \sqrt{x})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Simplifiez ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} < {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.2.1.5

Simplifiez

$x < {(- 1)}^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x < 1$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $1 - \sqrt{x}$ .

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Étape 5.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 5.4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 5.5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > 1$

Étape 6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0, x > 1$

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Étape 7