Ensembles finis Exemples

$y = \frac{1}{- 8 x + 1}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{- 8 y + 1}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{- 8 y + 1} = x$ .

$\frac{1}{- 8 y + 1} = x$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$- 8 y + 1, 1$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$- 8 y + 1, 1$

Étape 2.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$- 8 y + 1$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{- 8 y + 1} = x$ par $- 8 y + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{- 8 y + 1} = x$ par $- 8 y + 1$ .

$\frac{1}{- 8 y + 1} (- 8 y + 1) = x (- 8 y + 1)$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{- 8 y + 1}$ par $- 8 y + 1$ .

$\frac{- 8 y + 1}{- 8 y + 1} = x (- 8 y + 1)$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- 8 y + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 y + 1}{- 8 y + 1} = x (- 8 y + 1)$

Étape 2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x (- 8 y + 1)$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = x (- 8 y) + x \cdot 1$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = - 8 x y + x \cdot 1$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 = - 8 x y + x$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’équation comme $- 8 x y + x = 1$ .

$- 8 x y + x = 1$

Étape 2.4.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 x y = 1 - x$

Étape 2.4.3

Divisez chaque terme dans $- 8 x y = 1 - x$ par $- 8 x$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.1

Divisez chaque terme dans $- 8 x y = 1 - x$ par $- 8 x$ .

$\frac{- 8 x y}{- 8 x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 x y}{- 8 x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Étape 2.4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Étape 2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Étape 2.4.3.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Étape 2.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Étape 2.4.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.4.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Étape 2.4.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{- 1}{- 8}$

Étape 2.4.3.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{- 8 x + 1}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - \frac{1}{8 (\frac{1}{- 8 x + 1})} + \frac{1}{8}$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Associez $8$ et $\frac{1}{- 8 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - \frac{1}{\frac{8}{- 8 x + 1}} + \frac{1}{8}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - (1 (\frac{- 8 x + 1}{8})) + \frac{1}{8}$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $\frac{- 8 x + 1}{8}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - \frac{- 8 x + 1}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{- (- 8 x + 1) + 1}{8}$

Étape 4.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 1 + 1}{8}$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x - 1 \cdot 1 + 1}{8}$

Étape 4.2.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x - 1 + 1}{8}$

Étape 4.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.6.1

Associez les termes opposés dans $8 x - 1 + 1$ .

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Étape 4.2.6.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x + 0}{8}$

Étape 4.2.6.1.2

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x}{8}$

Étape 4.2.6.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x}{8}$

Étape 4.2.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 8 (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) + 1}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 8 (- \frac{1}{8 x}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8 x}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 8 \frac{- 1}{8 x} - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Étape 4.3.3.2.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{8 (- 1) (\frac{- 1}{8 x}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Étape 4.3.3.2.3

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{8 (- 1) (\frac{- 1}{8 (x)}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Étape 4.3.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{8 \cdot (- 1 \frac{- 1}{8 x}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Étape 4.3.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} + 8 (- 1) (\frac{1}{8}) + 1}$

Étape 4.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} + 8 \cdot (- 1 (\frac{1}{8})) + 1}$

Étape 4.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 (- \frac{1}{x}) - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.4.2

Multipliez $- 1 (- \frac{1}{x})$ .

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Étape 4.3.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{1 (\frac{1}{x}) - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.4.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{\frac{1}{x} - 1 + 1}$

Étape 4.3.3.5

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Étape 4.3.3.6

Additionnez $\frac{1}{x}$ et $0$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 4.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = 1 x$

Étape 4.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{- 8 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$