Ensembles finis Exemples

$s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$

Étape 1

Écrivez $s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$ comme une équation.

$y = x (x^{2} - \frac{8}{x})$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = y (y^{2} - \frac{8}{y})$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y (y^{2} - \frac{8}{y}) = x$ .

$y (y^{2} - \frac{8}{y}) = x$

Étape 3.2

Simplifiez $y (y^{2} - \frac{8}{y})$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y^{2} + y (- \frac{8}{y}) = x$

Étape 3.2.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{1} y^{2} + y (- \frac{8}{y}) = x$

Étape 3.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{1 + 2} + y (- \frac{8}{y}) = x$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$y^{3} + y (- \frac{8}{y}) = x$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{3} - y \frac{8}{y} = x$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.4.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y^{3} + y \cdot - 1 \frac{8}{y} = x$

Étape 3.2.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} + y \cdot - 1 \frac{8}{y} = x$

Étape 3.2.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} - 1 \cdot 8 = x$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$y^{3} - 8 = x$

Étape 3.3

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{3} = x + 8$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{x + 8}$

Étape 4

Replace $y$ with $s^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$

Étape 5

Vérifiez si $s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$ est l’inverse de $s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $s^{- 1} (s (x)) = x$ et $s (s^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $s^{- 1} (s (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$s^{- 1} (s (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x}))$ en remplaçant la valeur de $s$ par $s^{- 1}$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{(x (x^{2} - \frac{8}{x})) + 8}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

Étape 5.2.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

Étape 5.2.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

Étape 5.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} - x \frac{8}{x} + 8}$

Étape 5.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot (- 1 \frac{8}{x}) + 8}$

Étape 5.2.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot (- 1 \frac{8}{x}) + 8}$

Étape 5.2.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 \cdot 8 + 8}$

Étape 5.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} - 8 + 8}$

Étape 5.2.7

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.7.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Étape 5.2.7.2

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.2.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = x$

Étape 5.3

Évaluez $s (s^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$s (s^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $s (\sqrt[3]{x + 8})$ en remplaçant la valeur de $s^{- 1}$ par $s$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = (\sqrt[3]{x + 8}) ({(\sqrt[3]{x + 8})}^{2} - \frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}})$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x + 8}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}})$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $\frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - (\frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}))$

Étape 5.3.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}})$

Étape 5.3.3.3.2

Élevez $\sqrt[3]{x + 8}$ à la puissance $1$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}})$

Étape 5.3.3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{1 + 2}})$

Étape 5.3.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{3}})$

Étape 5.3.3.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x + 8}}^{3}$ comme $x + 8$ .

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Étape 5.3.3.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 8}$ comme ${(x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{({(x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Étape 5.3.3.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{(x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Étape 5.3.3.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}})$

Étape 5.3.3.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}})$

Étape 5.3.3.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{x + 8})$

Étape 5.3.3.3.5.5

Simplifiez

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{x + 8})$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{x + 8}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}}{x + 8})$

Étape 5.3.4

Pour écrire $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8)}{x + 8} - \frac{8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}}{x + 8})$

Étape 5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) - 8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}}{x + 8})$

Étape 5.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ à partir de $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) - 8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ .

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Étape 5.3.6.1.1

Factorisez $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ à partir de $- 8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) + \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} \cdot - 8}{x + 8})$

Étape 5.3.6.1.2

Factorisez $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ à partir de $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) + \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} \cdot - 8$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8 - 8)}{x + 8})$

Étape 5.3.6.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 0)}{x + 8})$

Étape 5.3.6.3

Additionnez $x$ et $0$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x}{x + 8})$

Étape 5.3.7

Multipliez $\sqrt[3]{x + 8} \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x}{x + 8}$ .

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Étape 5.3.7.1

Associez $\sqrt[3]{x + 8}$ et $\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x}{x + 8}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x)}{x + 8}$

Étape 5.3.7.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2} (x + 8)} x}{x + 8}$

Étape 5.3.7.3

Multipliez ${(x + 8)}^{2}$ par $x + 8$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.7.3.1

Multipliez ${(x + 8)}^{2}$ par $x + 8$ .

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Étape 5.3.7.3.1.1

Élevez $x + 8$ à la puissance $1$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2} (x + 8)} x}{x + 8}$

Étape 5.3.7.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2 + 1}} x}{x + 8}$

Étape 5.3.7.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{3}} x}{x + 8}$

Étape 5.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{(x + 8) x}{x + 8}$

Étape 5.3.9

Annulez le facteur commun de $x + 8$ .

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Étape 5.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{(x + 8) x}{x + 8}$

Étape 5.3.9.2

Divisez $x$ par $1$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = x$

Étape 5.4

Comme $s^{- 1} (s (x)) = x$ et $s (s^{- 1} (x)) = x$ , $s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$ est l’inverse de $s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$ .

$s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$