Ensembles finis Exemples

$p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$

Étape 1

Écrivez $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ comme une équation.

$y = 750 x^{2} + 15000 x$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 750 y^{2} + 15000 y$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $750 y^{2} + 15000 y = x$ .

$750 y^{2} + 15000 y = x$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$750 y^{2} + 15000 y - x = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 750$ , $b = 15000$ et $c = - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 15000 \pm \sqrt{15000^{2} - 4 \cdot (750 \cdot (- x))}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $15000$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot 750 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 750 \cdot - 1$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 3000 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 3000$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $3000$ à partir de $225000000 + 3000 x$ .

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Étape 3.5.1.3.1

Factorisez $3000$ à partir de $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 \cdot 75000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.5.1.3.2

Factorisez $3000$ à partir de $3000 \cdot 75000 + 3000 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $3000 (75000 + x)$ comme $10^{2} \cdot (30 (75000 + x))$ .

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Étape 3.5.1.4.1

Factorisez $100$ à partir de $3000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{100 (30) (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.5.1.4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.5.1.4.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$ .

$y = \frac{- 1500 \pm \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $15000$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot 750 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 750 \cdot - 1$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 3000 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 3000$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $3000$ à partir de $225000000 + 3000 x$ .

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Étape 3.6.1.3.1

Factorisez $3000$ à partir de $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 \cdot 75000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.6.1.3.2

Factorisez $3000$ à partir de $3000 \cdot 75000 + 3000 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $3000 (75000 + x)$ comme $10^{2} \cdot (30 (75000 + x))$ .

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Étape 3.6.1.4.1

Factorisez $100$ à partir de $3000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{100 (30) (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.6.1.4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.6.1.4.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$ .

$y = \frac{- 1500 \pm \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Étape 3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 1500 + \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Étape 3.6.5

Réécrivez $- 1500$ comme $- 1 (1500)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 + \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Étape 3.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{30 (75000 + x)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 - 1 (- \sqrt{30 (75000 + x)})}{150}$

Étape 3.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1500) - 1 (- \sqrt{30 (75000 + x)})$ .

$y = \frac{- 1 (1500 - \sqrt{30 (75000 + x)})}{150}$

Étape 3.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $15000$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot 750 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 750 \cdot - 1$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 3000 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $- 3000$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.7.1.3

Factorisez $3000$ à partir de $225000000 + 3000 x$ .

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Étape 3.7.1.3.1

Factorisez $3000$ à partir de $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 \cdot 75000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.7.1.3.2

Factorisez $3000$ à partir de $3000 \cdot 75000 + 3000 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.7.1.4

Réécrivez $3000 (75000 + x)$ comme $10^{2} \cdot (30 (75000 + x))$ .

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Étape 3.7.1.4.1

Factorisez $100$ à partir de $3000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{100 (30) (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.7.1.4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.7.1.4.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$ .

$y = \frac{- 1500 \pm \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Étape 3.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}$ .

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Étape 3.7.5.1

Remettez dans l’ordre $75000$ et $x$ .

$y = \frac{- 1500 - \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Étape 3.7.5.2

Réécrivez $- 1500$ comme $- 1 (1500)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 - \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Étape 3.7.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{30 (x + 75000)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 - (\sqrt{30 (x + 75000)})}{150}$

Étape 3.7.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1500) - (\sqrt{30 (x + 75000)})$ .

$y = \frac{- 1 (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})}{150}$

Étape 3.7.5.5

Réécrivez $- 1 (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})$ comme $- (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})$ .

$y = \frac{- (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})}{150}$

Étape 3.7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

$y = - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

$y = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

$y = - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Étape 4

Replace $y$ with $p^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Étape 5

Vérifiez si $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ est l’inverse de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ et $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 75000, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $- \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{30 (75000 + x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$30 (75000 + x) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $30 (75000 + x) \geq 0$ par $30$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $30 (75000 + x) \geq 0$ par $30$ .

$\frac{30 (75000 + x)}{30} \geq \frac{0}{30}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{30 (75000 + x)}{30} \geq \frac{0}{30}$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Divisez $75000 + x$ par $1$ .

$75000 + x \geq \frac{0}{30}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $30$ .

$75000 + x \geq 0$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $75000$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 75000$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 75000, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ se trouve sur la plage de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ et comme la plage de $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ est le domaine de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ , $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ est l’inverse de $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ .

$p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Étape 6