Ensembles finis Exemples

$f (x) = 10 x^{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 10 x^{3}$ comme une équation.

$y = 10 x^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 10 y^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $10 y^{3} = x$ .

$10 y^{3} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $10 y^{3} = x$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $10 y^{3} = x$ par $10$ .

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{10}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{10}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Étape 3.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Étape 3.4.3.2

Élevez $\sqrt[3]{10}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Étape 3.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

Étape 3.4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{10}}^{3}$ comme $10$ .

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Étape 3.4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{10}$ comme $10^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

Étape 3.4.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{10}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{10^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

Étape 3.4.4.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{100}}{10}$

Étape 3.4.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.4.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$

Étape 3.4.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ est l’inverse de $f (x) = 10 x^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (10 x^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{100 (10 x^{3})}}{10}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $100$ par $10$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{1000 x^{3}}}{10}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $1000 x^{3}$ comme ${(10 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(10 x)}^{3}}}{10}$

Étape 5.2.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 {(\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})}^{3}$

Étape 5.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{\sqrt[3]{100 x}}^{3}}{10^{3}})$

Étape 5.3.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{100 x}}^{3}$ comme $100 x$ .

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Étape 5.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{100 x}$ comme ${(100 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{({(100 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Étape 5.3.4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Étape 5.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

Étape 5.3.4.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

Étape 5.3.5

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{1000})$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $10$ à partir de $1000$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 (100)})$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 \cdot 100})$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $100$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

Étape 5.3.7.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ est l’inverse de $f (x) = 10 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$