Ensembles finis Exemples

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ comme une équation.

$y = \log_{2} (x - 8) + 5$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \log_{2} (y - 8) + 5$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\log_{2} (y - 8) + 5 = x$ .

$\log_{2} (y - 8) + 5 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\log_{2} (y - 8) = x - 5$

Étape 3.3

Réécrivez $\log_{2} (y - 8) = x - 5$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{x - 5} = y - 8$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $y - 8 = 2^{x - 5}$ .

$y - 8 = 2^{x - 5}$

Étape 3.4.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2^{x - 5} + 8$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ est l’inverse de $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$

Étape 5.2.3

Associez les termes opposés dans $2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$ .

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8) + 0} + 8$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $\log_{2} (x - 8)$ et $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8)} + 8$

Étape 5.2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x - 8 + 8$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $x - 8 + 8$ .

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Étape 5.2.5.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x + 0$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (2^{x - 5} + 8)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $\log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5} + 0) + 5$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $2^{x - 5}$ et $0$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5}) + 5$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x - 5$ de l’exposant.

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \log_{2} (2) + 5$

Étape 5.3.4.2

La base logarithmique $2$ de $2$ est $1$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

Étape 5.3.4.3

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x - 5 + 5$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x - 5 + 5$ .

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Étape 5.3.5.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ est l’inverse de $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ .

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$