Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$ comme une équation.

$y = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{- 4}{7} y - \frac{16}{7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{- 4}{7} y - \frac{16}{7} = x$ .

$\frac{- 4}{7} y - \frac{16}{7} = x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{7} y - \frac{16}{7} = x$

Étape 3.2.2

Associez $y$ et $\frac{4}{7}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{7} - \frac{16}{7} = x$

Étape 3.2.3

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$- \frac{4 y}{7} - \frac{16}{7} = x$

Étape 3.3

Ajoutez $\frac{16}{7}$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{4 y}{7} = x + \frac{16}{7}$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4} (- \frac{4 y}{7}) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Étape 3.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez $- \frac{7}{4} (- \frac{4 y}{7})$ .

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Étape 3.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{- 7}{4} (- \frac{4 y}{7}) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Étape 3.5.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 y}{7}$ dans le numérateur.

$\frac{- 7}{4} \cdot \frac{- 4 y}{7} = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Étape 3.5.1.1.1.3

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$\frac{7 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 y}{7} = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Étape 3.5.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 y}{7} = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Étape 3.5.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{4} (- 4 y) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Étape 3.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y$ .

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Étape 3.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Étape 3.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - y = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Étape 3.5.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.5.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Étape 3.5.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez $- \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{7}{4} x - \frac{7}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Étape 3.5.2.1.1.2

Associez $x$ et $\frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} - \frac{7}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Étape 3.5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.5.2.1.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{4}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{- 7}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Étape 3.5.2.1.1.3.2

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{7 (- 1)}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Étape 3.5.2.1.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{7 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Étape 3.5.2.1.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot 16$

Étape 3.5.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.2.1.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (4))$

Étape 3.5.2.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot 4)$

Étape 3.5.2.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} - 1 \cdot 4$

Étape 3.5.2.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} - 4$

Étape 3.5.2.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{7 x}{4} - 4$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 x}{4} - 4$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{7 x}{4} - 4$ est l’inverse de $f (x) = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- \frac{4}{7} x - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Étape 5.2.3.1.2

Associez $x$ et $\frac{4}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- \frac{x \cdot 4}{7} - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Étape 5.2.3.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- \frac{4 \cdot x}{7} - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Étape 5.2.3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{4 x}{7} - \frac{16}{7}$ .

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Étape 5.2.3.1.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{4 x}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- (\frac{4 x}{7}) - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Étape 5.2.3.1.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{16}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- (\frac{4 x}{7}) - (\frac{16}{7}))}{4} - 4$

Étape 5.2.3.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{4 x}{7}) - (\frac{16}{7})$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- (\frac{4 x}{7} + \frac{16}{7}))}{4} - 4$

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 \cdot (- 1 (\frac{4 x}{7} + \frac{16}{7}))}{4} - 4$

Étape 5.2.3.1.5

Associez les exposants.

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Étape 5.2.3.1.5.1

Factorisez le signe négatif.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- (7 (\frac{4 x}{7} + \frac{16}{7}))}{4} - 4$

Étape 5.2.3.1.5.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 (\frac{4 x}{7} + \frac{16}{7})}{4} - 4$

Étape 5.2.3.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 \frac{4 x + 16}{7}}{4} - 4$

Étape 5.2.3.1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 16$ .

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Étape 5.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 \frac{4 (x) + 16}{7}}{4} - 4$

Étape 5.2.3.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 \frac{4 x + 4 \cdot 4}{7}}{4} - 4$

Étape 5.2.3.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot 4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 \frac{4 (x + 4)}{7}}{4} - 4$

Étape 5.2.3.2

Associez $- 7$ et $\frac{4 (x + 4)}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{- 7 (4 (x + 4))}{7}}{4} - 4$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{- 28 (x + 4)}{7}}{4} - 4$

Étape 5.2.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.4.1

Réduisez l’expression $\frac{- 28 (x + 4)}{7}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.4.1.1

Factorisez $7$ à partir de $- 28 (x + 4)$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{7 (- 4 (x + 4))}{7}}{4} - 4$

Étape 5.2.3.4.1.2

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{7 (- 4 (x + 4))}{7 (1)}}{4} - 4$

Étape 5.2.3.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{7 (- 4 (x + 4))}{7 \cdot 1}}{4} - 4$

Étape 5.2.3.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{- 4 (x + 4)}{1}}{4} - 4$

Étape 5.2.3.4.2

Divisez $- 4 (x + 4)$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 4 (x + 4)}{4} - 4$

Étape 5.2.3.5

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 (x + 4)$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{4 (- (x + 4))}{4} - 4$

Étape 5.2.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{4 (- (x + 4))}{4 (1)} - 4$

Étape 5.2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{4 (- (x + 4))}{4 \cdot 1} - 4$

Étape 5.2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- (x + 4)}{1} - 4$

Étape 5.2.3.5.2.4

Divisez $- (x + 4)$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = (x + 4) - 4$

Étape 5.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - (- x - 1 \cdot 4) - 4$

Étape 5.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - (- x - 4) - 4$

Étape 5.2.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x + 4 - 4$

Étape 5.2.3.9

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.2.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = 1 x + 4 - 4$

Étape 5.2.3.9.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x + 4 - 4$

Étape 5.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x + 4 - 4$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 4 - 4$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{7 x}{4} - 4)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 4}{7} \cdot (- \frac{7 x}{4} - 4) - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = - \frac{4}{7} \cdot (- \frac{7 x}{4} - 4) - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = - \frac{4}{7} \cdot (- \frac{7 x}{4}) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{7}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 4}{7} \cdot (- \frac{7 x}{4}) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.3.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7 x}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 4}{7} \cdot \frac{- 7 x}{4} - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.3.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{4 (- 1)}{7} \cdot \frac{- 7 x}{4} - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.3.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{4 \cdot - 1}{7} \cdot \frac{- 7 x}{4} - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.3.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 1}{7} \cdot (- 7 x) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7 x$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 1}{7} \cdot (7 (- x)) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 1}{7} \cdot (7 (- x)) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = - 1 (- x) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = 1 x - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $- \frac{4}{7} \cdot - 4$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + 4 (\frac{4}{7}) - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.7.2

Associez $4$ et $\frac{4}{7}$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + \frac{4 \cdot 4}{7} - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.3.7.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + \frac{16}{7} - \frac{16}{7}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + \frac{16}{7} - \frac{16}{7}$ .

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Étape 5.3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + \frac{16 - 16}{7}$

Étape 5.3.4.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + \frac{0}{7}$

Étape 5.3.4.3

Divisez $0$ par $7$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + 0$

Étape 5.3.4.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{7 x}{4} - 4$ est l’inverse de $f (x) = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 x}{4} - 4$