Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})) = 2 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}))$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Étape 3.3.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $5$ .

$2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Étape 3.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{y}$ .

$2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Étape 3.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Étape 3.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$5 + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Étape 3.3.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{y}}{2}$ dans le numérateur.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$5 - e^{y} = 2 x$

Étape 3.4

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{y} = 2 x - 5$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $- e^{y} = 2 x - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $- e^{y} = 2 x - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{y}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{y}}{1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.5.2.2

Divisez $e^{y}$ par $1$ .

$e^{y} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 x}{- 1}$ .

$e^{y} = - 1 \cdot (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (2 x)$ comme $- (2 x)$ .

$e^{y} = - (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.5.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + \frac{- 5}{- 1}$

Étape 3.5.3.1.4

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + 5$

Étape 3.6

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 2 x + 5)$

Étape 3.7

Développez le côté gauche.

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Étape 3.7.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (- 2 x + 5)$

Étape 3.7.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 2 x + 5)$

Étape 3.7.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (- 2 x + 5)$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) + 5)$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Étape 5.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Étape 5.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Étape 5.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Étape 5.2.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 (- 1) (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Étape 5.2.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 \cdot (- 1 (\frac{5}{2})) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Étape 5.2.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 1 \cdot 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Étape 5.2.3.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Étape 5.2.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{x}}{2}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 \frac{- e^{x}}{2} + 5)$

Étape 5.2.3.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 (- 1) (\frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Étape 5.2.3.7.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 \cdot (- 1 \frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Étape 5.2.3.7.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 1 (- e^{x}) + 5)$

Étape 5.2.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 1 e^{x} + 5)$

Étape 5.2.3.9

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + e^{x} + 5)$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $- 5 + e^{x} + 5$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (0 + e^{x})$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (e^{x})$

Étape 5.2.5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \ln (e)$

Étape 5.2.6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \cdot 1$

Étape 5.2.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\ln (- 2 x + 5))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{\ln (- 2 x + 5)})$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x + 5))$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x) - 1 \cdot 5)$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 1 \cdot 5)$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 5)$

Étape 5.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.4.1

Associez les termes opposés dans $5 + 2 x - 5$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 0)$

Étape 5.3.4.1.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$