Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{5}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ comme une équation.

$y = \frac{1}{x^{5}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{y^{5}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{y^{5}} = x$ .

$\frac{1}{y^{5}} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{5}, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{5}$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{y^{5}} = x$ par $y^{5}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{y^{5}} = x$ par $y^{5}$ .

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{5}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x y^{5}$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $x y^{5} = 1$ .

$x y^{5} = 1$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $x y^{5} = 1$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $x y^{5} = 1$ par $x$ .

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y^{5}$ par $1$ .

$y^{5} = \frac{1}{x}$

Étape 3.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[5]{\frac{1}{x}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ .

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Étape 3.4.4.1

Réécrivez $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ comme $\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$

Étape 3.4.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}}$

Étape 3.4.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Étape 3.4.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Étape 3.4.4.4.2

Élevez $\sqrt[5]{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Étape 3.4.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1 + 4}}$

Étape 3.4.4.4.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{5}}$

Étape 3.4.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ comme $x$ .

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Étape 3.4.4.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 3.4.4.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 3.4.4.4.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

Étape 3.4.4.4.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.4.4.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

Étape 3.4.4.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{1}}$

Étape 3.4.4.4.5.5

Simplifiez

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x}$

Étape 3.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{x^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{\sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}}}{\frac{1}{x^{5}}}$

Étape 5.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}} x^{5}$

Étape 5.2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{4}}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

Étape 5.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

Étape 5.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{4}$ .

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Étape 5.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{5 \cdot 4}}} x^{5}$

Étape 5.2.6.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{20}}} x^{5}$

Étape 5.2.7

Réécrivez $1$ comme $1^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{x^{20}}} x^{5}$

Étape 5.2.8

Réécrivez $x^{20}$ comme ${(x^{4})}^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}} x^{5}$

Étape 5.2.9

Réécrivez $\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}$ comme ${(\frac{1}{x^{4}})}^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{4}})}^{5}} x^{5}$

Étape 5.2.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot x^{5}$

Étape 5.2.11

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 5.2.11.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

Étape 5.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

Étape 5.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})}^{5}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}}{x^{5}}}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez ${\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}$ comme $x^{4}$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x^{4}}$ comme $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{(x^{\frac{4}{5}})}^{5}}{x^{5}}}$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{5} \cdot 5}}{x^{5}}}$

Étape 5.3.3.2.3

Associez $\frac{4}{5}$ et $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4 \cdot 5}{5}}}{x^{5}}}$

Étape 5.3.3.2.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{20}{5}}}{x^{5}}}$

Étape 5.3.3.2.5

Annulez le facteur commun à $20$ et $5$ .

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Étape 5.3.3.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5}}}{x^{5}}}$

Étape 5.3.3.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 (1)}}}{x^{5}}}$

Étape 5.3.3.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1}}}{x^{5}}}$

Étape 5.3.3.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{1}}}{x^{5}}}$

Étape 5.3.3.2.5.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4}}{x^{5}}}$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.3.1

Multipliez par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{5}}}$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.3.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

Étape 5.3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

Étape 5.3.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = 1 x$

Étape 5.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$