Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ comme une équation.

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) (x) = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $(y^{2} - 1) (x)$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} x - 1 x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y^{2} x - x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $(\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1^{2}} (y^{2} - 1)$

Étape 3.3.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)} (y^{2} - 1)$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $\frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)}$ par $y^{2} - 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1^{2})}{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 3.3.1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 3.3.1.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 3.3.1.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Étape 3.3.1.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Étape 3.3.1.4.2

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 3.3.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Étape 3.3.1.4.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} x - x = y^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} x - x - y^{2} = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} x - y^{2} = x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} x - y^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} x$ .

$y^{2} (x) - y^{2} = x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- y^{2}$ .

$y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1 = x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1$ .

$y^{2} (x - 1) = x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y^{2} (x - 1) = x$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} (x - 1) = x$ par $x - 1$ .

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x - 1}$

Étape 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

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Étape 3.4.6.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ comme $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ par $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$

Étape 3.4.6.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.6.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ par $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}}$

Étape 3.4.6.3.2

Élevez $\sqrt{x - 1}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}}$

Étape 3.4.6.3.3

Élevez $\sqrt{x - 1}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}}$

Étape 3.4.6.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.6.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}$

Étape 3.4.6.3.6

Réécrivez ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ comme $x - 1$ .

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Étape 3.4.6.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.6.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.6.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.6.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{1}}$

Étape 3.4.6.3.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{x - 1}$

Étape 3.4.6.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Étape 3.4.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Étape 3.4.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Étape 3.4.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0] \cup (1, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x (x - 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x (x - 1) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5.3.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.3.2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.3.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.3.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 1) \geq 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 5.3.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 5.3.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.3.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 5.3.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) ((- 2) - 1) \geq 0$

Étape 5.3.2.6.1.3

Le côté gauche $6$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 5.3.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$(0.5) ((0.5) - 1) \geq 0$

Étape 5.3.2.6.2.3

Le côté gauche $- 0.25$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.3.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 5.3.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(4) ((4) - 1) \geq 0$

Étape 5.3.2.6.3.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 5.3.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 0$ ou $x \geq 1$

Étape 5.3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 1 = 0$

Étape 5.3.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0] \cup (1, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 5.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 5.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 5.4.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 5.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 5.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 5.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 5.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ est le domaine de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Étape 6