Ensembles finis Exemples

$0 > - x^{2} + 7 x + 12$

Étape 1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$- x^{2} + 7 x + 12 < 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} + 7 x + 12 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 7$ et $c = 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 12)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $4$ par $12$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.1.3

Additionnez $49$ et $48$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{2}$

Étape 6

Consolidez les solutions.

$x = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}, \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$0 > - {(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 12$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $0$ est supérieur au côté droit $- 32$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$0 > - {(0)}^{2} + 7 (0) + 12$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $0$ n’est pas supérieur au côté droit $12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 11$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $11$ dans l’inégalité d’origine.

$0 > - {(11)}^{2} + 7 (11) + 12$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $0$ est supérieur au côté droit $- 32$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ Vrai

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Faux

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Vrai

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ Vrai

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Faux

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Vrai

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ ou $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2} or x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{7 - \sqrt{97}}{2}) \cup (\frac{7 + \sqrt{97}}{2}, \infty)$

Étape 11