Ensembles finis Exemples

$\frac{x + 7}{- x - 5} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 7 = 0$

$- x - 5 = 0$

Étape 2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 5$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- x = 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- x = 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $5$ par $- 1$ .

$x = - 5$

Étape 5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 7$

$x = - 5$

Étape 6

Consolidez les solutions.

$x = - 7, - 5$

Étape 7

Déterminez le domaine de $\frac{x + 7}{- x - 5}$ .

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 7}{- x - 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$- x - 5 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 5$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

Étape 7.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{- 1}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Divisez $5$ par $- 1$ .

$x = - 5$

Étape 7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 5$

$x > - 5$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 10) + 7}{- (- 10) - 5} < 0$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 0.6$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) + 7}{- (- 6) - 5} < 0$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $1$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 7}{- (0) - 5} < 0$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 1.4$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 7$ Vrai

$- 7 < x < - 5$ Faux

$x > - 5$ Vrai

$x < - 7$ Vrai

$- 7 < x < - 5$ Faux

$x > - 5$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 7$ ou $x > - 5$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 7 or x > - 5$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 7) \cup (- 5, \infty)$

Étape 12