Ensembles finis Exemples

$\frac{x - 3}{3 x - 1} = \frac{x + 4}{2 x + 5}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x + 4}{2 x + 5}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x - 3}{3 x - 1} - \frac{x + 4}{2 x + 5} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x - 3}{3 x - 1} - \frac{x + 4}{2 x + 5}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{x - 3}{3 x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{x - 3}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{x + 4}{2 x + 5} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{x + 4}{2 x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{x - 3}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{x + 4}{2 x + 5} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 x - 1) (2 x + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x - 3}{3 x - 1}$ par $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} - \frac{x + 4}{2 x + 5} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{x + 4}{2 x + 5}$ par $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} - \frac{(x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(3 x - 1) (2 x + 5)$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} - \frac{(x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 3) (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Développez $(x - 3) (2 x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x + 5) - 3 (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 3 (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.2.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 6 x - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 6 x - 15 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $6 x$ de $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 + (- x - 1 \cdot 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 + (- x - 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.5

Développez $(- x - 4) (3 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 x \cdot x - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 x^{2} - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.6.1.4

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 2.5.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + 1 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.6.1.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.6.1.5

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 12 x - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.6.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 12 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.6.2

Soustrayez $12 x$ de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} - 11 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.7

Soustrayez $3 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - x - 15 - 11 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.8

Soustrayez $11 x$ de $- x$ .

$\frac{- x^{2} - 12 x - 15 + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.9

Additionnez $- 15$ et $4$ .

$\frac{- x^{2} - 12 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.10

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.5.10.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 11 = 11$ et dont la somme est $b = - 12$ .

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Étape 2.5.10.1.1

Factorisez $- 12$ à partir de $- 12 x$ .

$\frac{- x^{2} - 12 (x) - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.10.1.2

Réécrivez $- 12$ comme $- 1$ plus $- 11$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 11) x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 11 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.10.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.5.10.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 11 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.10.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x - 1) + 11 (- x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.5.10.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(2 x + 5) (3 x - 1) = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$3 x - 1 = 0$

Étape 4.2

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Étape 4.2.2

Résolvez $2 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 4.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 4.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 4.3

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 5) (3 x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{5}{2}, \frac{1}{3}$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - \frac{5}{2}, x = \frac{1}{3}$

Étape 6