Ensembles finis Exemples

$\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 + \frac{4}{x} = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4}{x} = - 1$

Étape 4.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 4.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 4.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{4}{x} = - 1$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4}{x} = - 1$ par $x$ .

$\frac{4}{x} x = - x$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{x} x = - x$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 = - x$

Étape 4.4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’équation comme $- x = 4$ .

$- x = 4$

Étape 4.4.2

Divisez chaque terme dans $- x = 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Étape 4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{4}{- 1}$

Étape 4.4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{- 1}$

Étape 4.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.3.1

Divisez $4$ par $- 1$ .

$x = - 4$

Étape 5

Définissez le radicande dans $\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 + \frac{4}{x^{2}} < 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{4}{x^{2}} < - 1$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 = - x^{2}$

Étape 6.4

Résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} = 4$ .

$- x^{2} = 4$

Étape 6.4.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Étape 6.4.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Étape 6.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.3.1

Divisez $4$ par $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Étape 6.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 6.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 6.4.4.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 6.4.4.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 6.4.4.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 6.4.4.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 6.4.4.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 6.4.4.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 6.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 6.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 6.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 6.5

Déterminez le domaine de $1 + \frac{4}{x^{2}}$ .

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Étape 6.5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.5.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$x > 0$

Étape 6.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{4}{{(- 2)}^{2}} < 0$

Étape 6.7.1.3

Le côté gauche $2$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 6.7.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{4}{{(2)}^{2}} < 0$

Étape 6.7.2.3

Le côté gauche $2$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.7.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$x > 0$ Faux

$x < 0$ Faux

$x > 0$ Faux

Étape 6.8

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution

Étape 7

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 4, x = 0$

Étape 8