Ensembles finis Exemples

\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}

$\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans

\frac{4}{x^{2}}

$\frac{4}{x^{2}}$ égal à

0

$0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

x^{2} = 0

$x^{2} = 0$

Étape 2

Résolvez

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{0}

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.2

Simplifiez

\pm \sqrt{0}

$\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réécrivez

0

$0$ comme

0^{2}

$0^{2}$ .

x = \pm \sqrt{0^{2}}

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

x = \pm 0

$x = \pm 0$

Étape 2.2.3

Plus ou moins

0

$0$ est

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans

\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}

$\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$ égal à

0

$0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

1 + \frac{4}{x} = 0

$1 + \frac{4}{x} = 0$

Étape 4

Résolvez

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

\frac{4}{x} = - 1

$\frac{4}{x} = - 1$

Étape 4.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

x, 1

$x, 1$

Étape 4.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

x

$x$

x

$x$

Étape 4.3

Multiplier chaque terme dans

\frac{4}{x} = - 1

$\frac{4}{x} = - 1$ par

x

$x$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez chaque terme dans

\frac{4}{x} = - 1

$\frac{4}{x} = - 1$ par

x

$x$ .

\frac{4}{x} x = - x

$\frac{4}{x} x = - x$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{x} x = - x$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 = - x$

Étape 4.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Réécrivez l’équation comme

$- x = 4$ .

$- x = 4$

Étape 4.4.2

Divisez chaque terme dans

$- x = 4$ par

$- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Divisez chaque terme dans

$- x = 4$ par

$- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Étape 4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{4}{- 1}$

Étape 4.4.2.2.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{4}{- 1}$

Étape 4.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.3.1

Divisez

$4$ par

$- 1$ .

$x = - 4$

Étape 5

Définissez le radicande dans

$\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}$ inférieur à

$0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 + \frac{4}{x^{2}} < 0$

Étape 6

Résolvez

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Soustrayez

$1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{4}{x^{2}} < - 1$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par

$x^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun de

$x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 = - x^{2}$

Étape 6.4

Résolvez

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Réécrivez l’équation comme

$- x^{2} = 4$ .

$- x^{2} = 4$

Étape 6.4.2

Divisez chaque terme dans

$- x^{2} = 4$ par

$- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Divisez chaque terme dans

$- x^{2} = 4$ par

$- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Étape 6.4.2.2.2

Divisez

$x^{2}$ par

$1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Étape 6.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.1

Divisez

$4$ par

$- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Étape 6.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 6.4.4

Simplifiez

$\pm \sqrt{- 4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.1

Réécrivez

$- 4$ comme

$- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 6.4.4.2

Réécrivez

$\sqrt{- 1 (4)}$ comme

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 6.4.4.3

Réécrivez

$\sqrt{- 1}$ comme

$i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 6.4.4.4

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 6.4.4.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 6.4.4.6

Déplacez

$2$ à gauche de

$i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 6.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 6.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 6.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 6.5

Déterminez le domaine de

$1 + \frac{4}{x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Définissez le dénominateur dans

$\frac{4}{x^{2}}$ égal à

$0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez

$\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

Réécrivez

$0$ comme

$0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.5.2.2.3

Plus ou moins

$0$ est

$0$ .

$x = 0$

Étape 6.5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de

$x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$x > 0$

Étape 6.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle

$x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.7.1.2

Remplacez

$x$ par

$- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{4}{{(- 2)}^{2}} < 0$

Étape 6.7.1.3

Le côté gauche

$2$ n’est pas inférieur au côté droit

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle

$x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle

$x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 6.7.2.2

Remplacez

$x$ par

$2$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{4}{{(2)}^{2}} < 0$

Étape 6.7.2.3

Le côté gauche

$2$ n’est pas inférieur au côté droit

$0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.7.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$x > 0$ Faux

$x < 0$ Faux

$x > 0$ Faux

Étape 6.8

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution

Étape 7

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à

$0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à

$0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à

$0$ .

$x = - 4, x = 0$

Étape 8