Ensembles finis Exemples

$\ln (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}})$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 1)}^{3} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\ln (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}} \leq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{3} = 0$

Étape 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.4

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 1$

Étape 4.7

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 1$

Étape 4.8

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 1)}^{3} = 0$

Étape 4.8.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.8.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 4.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Étape 4.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 4.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2}}{{((- 4) + 1)}^{3}} \leq 0$

Étape 4.10.1.3

Le côté gauche $- 0.\overline{592}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 4.10.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 0.5)}^{2}}{{((- 0.5) + 1)}^{3}} \leq 0$

Étape 4.10.2.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 4.10.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2)}^{2}}{{((2) + 1)}^{3}} \leq 0$

Étape 4.10.3.3

Le côté gauche $0.\overline{148}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Faux

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Faux

Étape 4.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$ ou $x = 0$

Étape 5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 1, x = 0$

Étape 6