Ensembles finis Exemples

$82$ , $76$ , $93$ , $82$ , $73$ , $80$

Étape 1

Déterminez la moyenne.

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Étape 1.1

La moyenne d’un ensemble de nombres est la somme divisée par le nombre de termes.

$\overline{x} = \frac{82 + 76 + 93 + 82 + 73 + 80}{6}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Additionnez $82$ et $76$ .

$\overline{x} = \frac{158 + 93 + 82 + 73 + 80}{6}$

Étape 1.2.2

Additionnez $158$ et $93$ .

$\overline{x} = \frac{251 + 82 + 73 + 80}{6}$

Étape 1.2.3

Additionnez $251$ et $82$ .

$\overline{x} = \frac{333 + 73 + 80}{6}$

Étape 1.2.4

Additionnez $333$ et $73$ .

$\overline{x} = \frac{406 + 80}{6}$

Étape 1.2.5

Additionnez $406$ et $80$ .

$\overline{x} = \frac{486}{6}$

Étape 1.3

Divisez $486$ par $6$ .

$\overline{x} = 81$

Étape 2

Simplifiez chaque valeur de la liste.

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Étape 2.1

Convertissez $82$ en une valeur décimale.

$82$

Étape 2.2

Convertissez $76$ en une valeur décimale.

$76$

Étape 2.3

Convertissez $93$ en une valeur décimale.

$93$

Étape 2.4

Convertissez $82$ en une valeur décimale.

$82$

Étape 2.5

Convertissez $73$ en une valeur décimale.

$73$

Étape 2.6

Convertissez $80$ en une valeur décimale.

$80$

Étape 2.7

Les valeurs simplifiées sont $82, 76, 93, 82, 73, 80$ .

$82, 76, 93, 82, 73, 80$

Étape 3

Définissez la formule pour l’écart-type de l’échantillon. L’écart-type d’un ensemble de valeurs est une mesure de la dispersion de ses valeurs.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Étape 4

Définissez la formule de l’écart-type pour cet ensemble de nombres.

$s = \sqrt{\frac{{(82 - 81)}^{2} + {(76 - 81)}^{2} + {(93 - 81)}^{2} + {(82 - 81)}^{2} + {(73 - 81)}^{2} + {(80 - 81)}^{2}}{6 - 1}}$

Étape 5

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1

Soustrayez $81$ de $82$ .

$s = \sqrt{\frac{1^{2} + {(76 - 81)}^{2} + {(93 - 81)}^{2} + {(82 - 81)}^{2} + {(73 - 81)}^{2} + {(80 - 81)}^{2}}{6 - 1}}$

Étape 5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$s = \sqrt{\frac{1 + {(76 - 81)}^{2} + {(93 - 81)}^{2} + {(82 - 81)}^{2} + {(73 - 81)}^{2} + {(80 - 81)}^{2}}{6 - 1}}$

Étape 5.3

Soustrayez $81$ de $76$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + {(- 5)}^{2} + {(93 - 81)}^{2} + {(82 - 81)}^{2} + {(73 - 81)}^{2} + {(80 - 81)}^{2}}{6 - 1}}$

Étape 5.4

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + {(93 - 81)}^{2} + {(82 - 81)}^{2} + {(73 - 81)}^{2} + {(80 - 81)}^{2}}{6 - 1}}$

Étape 5.5

Soustrayez $81$ de $93$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 12^{2} + {(82 - 81)}^{2} + {(73 - 81)}^{2} + {(80 - 81)}^{2}}{6 - 1}}$

Étape 5.6

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 144 + {(82 - 81)}^{2} + {(73 - 81)}^{2} + {(80 - 81)}^{2}}{6 - 1}}$

Étape 5.7

Soustrayez $81$ de $82$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 144 + 1^{2} + {(73 - 81)}^{2} + {(80 - 81)}^{2}}{6 - 1}}$

Étape 5.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 144 + 1 + {(73 - 81)}^{2} + {(80 - 81)}^{2}}{6 - 1}}$

Étape 5.9

Soustrayez $81$ de $73$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 144 + 1 + {(- 8)}^{2} + {(80 - 81)}^{2}}{6 - 1}}$

Étape 5.10

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 144 + 1 + 64 + {(80 - 81)}^{2}}{6 - 1}}$

Étape 5.11

Soustrayez $81$ de $80$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 144 + 1 + 64 + {(- 1)}^{2}}{6 - 1}}$

Étape 5.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 144 + 1 + 64 + 1}{6 - 1}}$

Étape 5.13

Additionnez $1$ et $25$ .

$s = \sqrt{\frac{26 + 144 + 1 + 64 + 1}{6 - 1}}$

Étape 5.14

Additionnez $26$ et $144$ .

$s = \sqrt{\frac{170 + 1 + 64 + 1}{6 - 1}}$

Étape 5.15

Additionnez $170$ et $1$ .

$s = \sqrt{\frac{171 + 64 + 1}{6 - 1}}$

Étape 5.16

Additionnez $171$ et $64$ .

$s = \sqrt{\frac{235 + 1}{6 - 1}}$

Étape 5.17

Additionnez $235$ et $1$ .

$s = \sqrt{\frac{236}{6 - 1}}$

Étape 5.18

Soustrayez $1$ de $6$ .

$s = \sqrt{\frac{236}{5}}$

Étape 5.19

Réécrivez $\sqrt{\frac{236}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{236}}{\sqrt{5}}$ .

$s = \frac{\sqrt{236}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.20.1

Réécrivez $236$ comme $2^{2} \cdot 59$ .

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Étape 5.20.1.1

Factorisez $4$ à partir de $236$ .

$s = \frac{\sqrt{4 (59)}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.20.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$s = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 59}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.20.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$s = \frac{2 \sqrt{59}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.21

Multipliez $\frac{2 \sqrt{59}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$s = \frac{2 \sqrt{59}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 5.22

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.22.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{59}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$s = \frac{2 \sqrt{59} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 5.22.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{2 \sqrt{59} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 5.22.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{2 \sqrt{59} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 5.22.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{2 \sqrt{59} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 5.22.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$s = \frac{2 \sqrt{59} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 5.22.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.22.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{2 \sqrt{59} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.22.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{2 \sqrt{59} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.22.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$s = \frac{2 \sqrt{59} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.22.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.22.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{2 \sqrt{59} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.22.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{2 \sqrt{59} \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.22.6.5

Évaluez l’exposant.

$s = \frac{2 \sqrt{59} \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.23.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$s = \frac{2 \sqrt{5 \cdot 59}}{5}$

Étape 5.23.2

Multipliez $5$ par $59$ .

$s = \frac{2 \sqrt{295}}{5}$

Étape 6

L’écart-type devrait être arrondi à une décimale de plus que les données d’origine. Si les données d’origine étaient mélangées, arrondissez à une décimale de plus que la moins précise.

$6.9$