Ensembles finis Exemples

$\frac{x}{x - 2} - \frac{7}{x + 2} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{x}{x - 2} - \frac{7}{x + 2}$ .

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{x}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{7}{x + 2} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{7}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{7}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{x}{x - 2}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{7}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{7}{x + 2}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{7 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{7 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 2) - 7 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 7 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 7 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 1.5.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 7 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x - 7 x - 7 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 1.5.5

Multipliez $- 7$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 7 x + 14}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 1.5.6

Soustrayez $7 x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 14}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 14}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 14}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 3

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = 3$

Étape 4