Ensembles finis Exemples

$\frac{z}{z^{2} - 4} + \frac{6 z}{z^{2} - 2 z}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{z}{z^{2} - 2^{2}} + \frac{6 z}{z^{2} - 2 z}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = 2$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 z}{z^{2} - 2 z}$

Étape 1.2

Factorisez $z$ à partir de $z^{2} - 2 z$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{2}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 z}{z \cdot z - 2 z}$

Étape 1.2.2

Factorisez $z$ à partir de $- 2 z$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 z}{z \cdot z + z \cdot - 2}$

Étape 1.2.3

Factorisez $z$ à partir de $z \cdot z + z \cdot - 2$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 z}{z (z - 2)}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $z$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 z}{z (z - 2)}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6}{z - 2}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{6}{z - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z + 2}{z + 2}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6}{z - 2} \cdot \frac{z + 2}{z + 2}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(z + 2) (z - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{6}{z - 2}$ par $\frac{z + 2}{z + 2}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 (z + 2)}{(z - 2) (z + 2)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(z - 2) (z + 2)$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} + \frac{6 (z + 2)}{(z + 2) (z - 2)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{z + 6 (z + 2)}{(z + 2) (z - 2)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z + 6 z + 6 \cdot 2}{(z + 2) (z - 2)}$

Étape 5.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{z + 6 z + 12}{(z + 2) (z - 2)}$

Étape 5.3

Additionnez $z$ et $6 z$ .

$\frac{7 z + 12}{(z + 2) (z - 2)}$