Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{6} - 64$

Étape 1

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

$f (x) = {(x^{2})}^{3} - 64$

Étape 2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$f (x) = {(x^{2})}^{3} - 4^{3}$

Étape 3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

$f (x) = (x^{2} - 4) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (x) = (x^{2} - 2^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 4.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 4^{2})$

Étape 4.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 16)$

Étape 4.6

Factorisez.

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Étape 4.6.1

Réécrivez $x^{4} + 4 x^{2} + 16$ en forme factorisée.

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Étape 4.6.1.1

Réécrivez le point milieu.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 4 - 4 x^{2} + 16)$

Étape 4.6.1.2

Réorganisez les termes.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 - 4 x^{2})$

Étape 4.6.1.3

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ({(x^{2} + 4)}^{2} - 4 x^{2})$

Étape 4.6.1.4

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ({(x^{2} + 4)}^{2} - {(2 x)}^{2})$

Étape 4.6.1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2} + 4$ et $b = 2 x$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4 + 2 x) (x^{2} + 4 - (2 x)))$

Étape 4.6.1.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} + 4 - (2 x)))$

Étape 4.6.1.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} + 4 - 2 x))$

Étape 4.6.1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4))$

Étape 4.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4)$