Ensembles finis Exemples

$f (x) = - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$

Étape 1

Factorisez $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Étape 1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 4 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

Étape 1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$- 4 \cdot 1 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

Étape 1.3.4

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$- 4 - 8 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 9$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 4 - 8 + 3 \cdot 1 + 9$

Étape 1.3.6

Soustrayez $8$ de $- 4$ .

$- 12 + 3 \cdot 1 + 9$

Étape 1.3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 12 + 3 + 9$

Étape 1.3.8

Additionnez $- 12$ et $3$ .

$- 9 + 9$

Étape 1.3.9

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9}{x - 1}$

Étape 1.5

Divisez $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ par $x - 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x$

$9$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x^{2} + 12 x$

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 9 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	+	$9$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 9 x + 9$

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 4 x^{2} - 12 x - 9$

Étape 1.6

Écrivez $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 4 \cdot - 9 = 36$ et dont la somme est $b = - 12$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $- 12$ à partir de $- 12 x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $- 12$ comme $- 6$ plus $- 6$

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} + (- 6 - 6) x - 9)$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 6 x - 6 x - 9)$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = (x - 1) ((- 4 x^{2} - 6 x) - 6 x - 9)$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = (x - 1) (2 x (- 2 x - 3) + 3 (- 2 x - 3))$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 x - 3$ .

$f (x) = (x - 1) ((- 2 x - 3) (2 x + 3))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x - 3) (2 x + 3)$