Ensembles finis Exemples

$f (x) = 10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 188, \pm 2, \pm 94, \pm 4, \pm 47$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 188, \pm 18.8, \pm 94, \pm 37.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 9.4, \pm 47, \pm 4, \pm 0.8, \pm 4.7, \pm 23.5$

Étape 3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$10 \cdot 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Étape 3.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$10 \cdot 16 - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Étape 3.3

Multipliez $10$ par $16$ .

$160 - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Étape 3.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$160 - 3 \cdot 8 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Étape 3.5

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$160 - 24 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Étape 3.6

Soustrayez $24$ de $160$ .

$136 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Étape 3.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$136 - 63 \cdot 4 + 152 \cdot 2 - 188$

Étape 3.8

Multipliez $- 63$ par $4$ .

$136 - 252 + 152 \cdot 2 - 188$

Étape 3.9

Soustrayez $252$ de $136$ .

$- 116 + 152 \cdot 2 - 188$

Étape 3.10

Multipliez $152$ par $2$ .

$- 116 + 304 - 188$

Étape 3.11

Additionnez $- 116$ et $304$ .

$188 - 188$

Étape 3.12

Soustrayez $188$ de $188$ .

$0$

Étape 4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188}{x - 2}$

Étape 5

Divisez $10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$ par $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$10 x^{3}$
	$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$10 x^{3}$
$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$
			+	$10 x^{4}$	-	$20 x^{3}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 x^{4} - 20 x^{3}$

				$10 x^{3}$
$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$
			-	$10 x^{4}$	+	$20 x^{3}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$10 x^{3}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$10 x^{3}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $17 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $17 x^{3} - 34 x^{2}$

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

Étape 5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

Étape 5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 29 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

Étape 5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

Étape 5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 29 x^{2} + 58 x$

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

Étape 5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

Étape 5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

Étape 5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $94 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

Étape 5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

Étape 5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $94 x - 188$

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

Étape 5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

$0$

Étape 5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$10 x^{3} + 17 x^{2} - 29 x + 94$

Étape 6

Écrivez $10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = (x - 2) (10 x^{3} + 17 x^{2} - 29 x + 94)$