Ensembles finis Exemples

$y^{2} - 5 y - 5 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 5$ et $c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Additionnez $25$ et $20$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $25$ et $20$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Additionnez $25$ et $20$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Forme décimale :

$y = 5.85410196 \dots, - 0.85410196 \dots$