Ensembles finis Exemples

$x^{2} + 2 x + y^{2} + 3 y - 12 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = y^{2} + 3 y - 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 3 y - 12))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 3 y - 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (y^{2} + 3 y - 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 4 (3 y) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 12 y - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 12 y + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Additionnez $4$ et $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 y^{2} - 12 y + 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2} - 12 y + 52$ .

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) - 12 y + 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 3 y) + 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 3 y) + 4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- y^{2}) + 4 (- 3 y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 3 y) + 4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- y^{2} - 3 y) + 4 (13)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 3 y + 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- y^{2} - 3 y + 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 3 y - 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (y^{2} + 3 y - 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 4 (3 y) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 12 y - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 12 y + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Additionnez $4$ et $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 y^{2} - 12 y + 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2} - 12 y + 52$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) - 12 y + 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 3 y) + 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 3 y) + 4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- y^{2}) + 4 (- 3 y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 3 y) + 4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- y^{2} - 3 y) + 4 (13)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 3 y + 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- y^{2} - 3 y + 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}$

Étape 4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 3 y - 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (y^{2} + 3 y - 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 4 (3 y) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 12 y - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 12 y + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Additionnez $4$ et $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 y^{2} - 12 y + 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2} - 12 y + 52$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) - 12 y + 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 3 y) + 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 3 y) + 4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- y^{2}) + 4 (- 3 y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 3 y) + 4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- y^{2} - 3 y) + 4 (13)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 3 y + 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- y^{2} - 3 y + 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}$

$x = - 1 - \sqrt{- y^{2} - 3 y + 13}$