Ensembles finis Exemples

$x^{\frac{2}{7}} - 43 x^{\frac{1}{7}} = - 42$

Étape 1

Ajoutez $42$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{2}{7}} - 43 x^{\frac{1}{7}} + 42 = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{\frac{2}{7}}$ comme ${(x^{\frac{1}{7}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{7}})}^{2} - 43 x^{\frac{1}{7}} + 42 = 0$

Étape 3

Laissez $u = x^{\frac{1}{7}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{7}}$ par $u$ .

$u^{2} - 43 u + 42 = 0$

Étape 4

Factorisez $u^{2} - 43 u + 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $42$ et dont la somme est $- 43$ .

$- 42, - 1$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 42) (u - 1) = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{7}}$ .

$(x^{\frac{1}{7}} - 42) (x^{\frac{1}{7}} - 1) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$

$x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$

Étape 7

Définissez $x^{\frac{1}{7}} - 42$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x^{\frac{1}{7}} - 42$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $42$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{7}} = 42$

Étape 7.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $7$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 42^{7}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 42^{7}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 42^{7}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 42^{7}$

Étape 7.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 42^{7}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.2.1

Élevez $42$ à la puissance $7$ .

$x = 230539333248$

Étape 8

Définissez $x^{\frac{1}{7}} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x^{\frac{1}{7}} - 1$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{7}} = 1$

Étape 8.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $7$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 1^{7}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 1^{7}$

Étape 8.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 1^{7}$

Étape 8.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 1^{7}$

Étape 8.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 1^{7}$

Étape 8.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = 1$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{\frac{1}{7}} - 42) (x^{\frac{1}{7}} - 1) = 0$ vraie.

$x = 230539333248, 1$