Ensembles finis Exemples

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} = 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} - 1$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{x}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - 1 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - 1 = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x}{x + 4}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x + 1)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 4) (x + 1)$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 1) - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Étape 2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x - x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{x^{2} + x - x - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Étape 2.5.6

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Étape 2.5.7

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Étape 2.5.8

Réécrivez $x^{2} - 4$ en forme factorisée.

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Étape 2.5.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Étape 2.5.8.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} + \frac{- ((x + 1) (x + 4))}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - ((x + 1) (x + 4))}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 2.9.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.6

Développez $(- x - 1) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.9.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 4) - 1 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.9.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.7.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.7.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.7.2

Soustrayez $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.8

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.9

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{- 4 - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.9.10

Soustrayez $4$ de $- 4$ .

$\frac{- 5 x - 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{- (5 x) - 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.11

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$\frac{- (5 x) - 1 (8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x) - 1 (8)$ .

$\frac{- (5 x + 8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.13

Réécrivez $- (5 x + 8)$ comme $- 1 (5 x + 8)$ .

$\frac{- 1 (5 x + 8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x + 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 x + 8 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 8$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 8$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 8$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{5}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{8}{5}$