Ensembles finis Exemples

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} = 16$

Étape 1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} - 16 = 0$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(x + 2)}^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Étape 3

Réécrivez ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ comme ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 16 = 0$

Étape 4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4^{2} = 0$

Étape 5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ et $b = 4$ .

$({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Étape 7

Définissez ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

Étape 7.2

Résolvez ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = - 4$

Étape 7.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 4)}^{3}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.3.1.1

Simplifiez ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 2)}^{1} = {(- 4)}^{3}$

Étape 7.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x + 2 = {(- 4)}^{3}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$x + 2 = - 64$

Étape 7.2.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.2.4.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 64 - 2$

Étape 7.2.4.2

Soustrayez $2$ de $- 64$ .

$x = - 66$

Étape 8

Définissez ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Étape 8.2

Résolvez ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = 4$

Étape 8.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 4^{3}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.3.1.1

Simplifiez ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Étape 8.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Étape 8.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 2)}^{1} = 4^{3}$

Étape 8.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x + 2 = 4^{3}$

Étape 8.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$x + 2 = 64$

Étape 8.2.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.2.4.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = 64 - 2$

Étape 8.2.4.2

Soustrayez $2$ de $64$ .

$x = 62$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$ vraie.

$x = - 66, 62$