Ensembles finis Exemples

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} = 15 \sqrt{x}$

Étape 1

Soustrayez $15 \sqrt{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Étape 2.1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 2.1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$\sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Étape 2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x - 5 + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $15 \sqrt{x}$ de $12 \sqrt{x}$ .

$x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 3 \sqrt{x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 - 3 \sqrt{x} = - x$

Étape 3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 \sqrt{x} = - x + 5$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 3 \sqrt{x})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 x^{1} = {(- x + 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez

$9 x = {(- x + 5)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(- x + 5)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(- x + 5)}^{2}$ comme $(- x + 5) (- x + 5)$ .

$9 x = (- x + 5) (- x + 5)$

Étape 5.3.1.2

Développez $(- x + 5) (- x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 x = - x (- x + 5) + 5 (- x + 5)$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x + 5)$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$9 x = 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$9 x = x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$9 x = x^{2} - 5 x + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 5 \cdot 5$

Étape 5.3.1.3.1.7

Multipliez $5$ par $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Étape 5.3.1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$9 x = x^{2} - 10 x + 25$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 10 x + 25 = 9 x$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $9 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 10 x + 25 - 9 x = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $9 x$ de $- 10 x$ .

$x^{2} - 19 x + 25 = 0$

Étape 6.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 19$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1.1

Élevez $- 19$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Étape 6.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.3

Soustrayez $100$ de $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.4

Réécrivez $261$ comme $3^{2} \cdot 29$ .

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Étape 6.5.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1.1

Élevez $- 19$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Étape 6.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.3

Soustrayez $100$ de $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.4

Réécrivez $261$ comme $3^{2} \cdot 29$ .

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Étape 6.6.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Étape 6.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Étape 6.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.7.1.1

Élevez $- 19$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Étape 6.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.3

Soustrayez $100$ de $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.4

Réécrivez $261$ comme $3^{2} \cdot 29$ .

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Étape 6.7.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Étape 6.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

Étape 6.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}, \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$ vrai.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Forme décimale :

$x = 17.57774721 \dots$