Ensembles finis Exemples

$\sin^{2} (x) = 2 + 2 \cos (x)$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (x) - 2 = 2 \cos (x)$

Étape 1.2

Soustrayez $2 \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2

Remplacez $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1 - \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 \cos (x)$ .

$- \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1$ plus $- 1$

$- \cos^{2} (x) + (- 1 - 1) \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\cos (x) (- \cos (x) - 1) + 1 (- \cos (x) - 1) = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- \cos (x) - 1$ .

$(- \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $- \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $- \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $- \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = 1$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

Étape 3.4.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 3.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 3.4.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 3.4.2.6

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 3.4.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.4.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$