Ensembles finis Exemples

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) = \log_{7} (24)$

Étape 1

Soustrayez $\log_{7} (24)$ des deux côtés de l’équation.

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24) = 0$

Étape 2

Simplifiez $\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (x (x - 2)) - \log_{7} (24) = 0$

Étape 2.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$7^{0} = \frac{x (x - 2)}{24}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$ .

$\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$

Étape 4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $24$ .

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

Étape 4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.1

Simplifiez $24 \frac{x (x - 2)}{24}$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 4.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

Étape 4.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x (x - 2) = 24 \cdot 7^{0}$

Étape 4.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

Étape 4.3.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

Étape 4.3.1.1.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 7^{0}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez $24 \cdot 7^{0}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 1$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $24$ par $1$ .

$x^{2} - 2 x = 24$

Étape 4.4

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x - 24 = 0$

Étape 4.5

Factorisez $x^{2} - 2 x - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 6, 4$

Étape 4.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x + 4) = 0$

Étape 4.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 4.7

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.7.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4.8

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.8.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 4.8.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 4.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 6, - 4$