Ensembles finis Exemples

$\log_{2} (x) - \log_{2} (x - 2) = 3$

Étape 1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\log_{2} (x) - \log_{2} (x - 2) - 3 = 0$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x}{x - 2}) - 3 = 0$

Étape 3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\log_{2} (\frac{x}{x - 2}) = 3$

Étape 4

Réécrivez $\log_{2} (\frac{x}{x - 2}) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{x}{x - 2}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x}{x - 2} = 2^{3}$ .

$\frac{x}{x - 2} = 2^{3}$

Étape 5.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{x}{x - 2} = 8$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 2, 1$

Étape 5.3.2

Supprimez les parenthèses.

$x - 2, 1$

Étape 5.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x - 2$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{x}{x - 2} = 8$ par $x - 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x}{x - 2} = 8$ par $x - 2$ .

$\frac{x}{x - 2} (x - 2) = 8 (x - 2)$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{x - 2} (x - 2) = 8 (x - 2)$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 8 (x - 2)$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = 8 x + 8 \cdot - 2$

Étape 5.4.3.2

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$x = 8 x - 16$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.5.1.1

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$x - 8 x = - 16$

Étape 5.5.1.2

Soustrayez $8 x$ de $x$ .

$- 7 x = - 16$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $- 7 x = - 16$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 7 x = - 16$ par $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 7}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{16}{7}$