Ensembles finis Exemples

$7^{2 x} + 7^{x} - 30 = 0$

Étape 1

Réécrivez $7^{2 x}$ comme ${(7^{x})}^{2}$ .

${(7^{x})}^{2} + 7^{x} - 30 = 0$

Étape 2

Laissez $u = 7^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $7^{x}$ par $u$ .

$u^{2} + u - 30 = 0$

Étape 3

Factorisez $u^{2} + u - 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 30$ et dont la somme est $1$ .

$- 5, 6$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 5) (u + 6) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7^{x}$ .

$(7^{x} - 5) (7^{x} + 6) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7^{x} - 5 = 0$

$7^{x} + 6 = 0$

Étape 6

Définissez $7^{x} - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $7^{x} - 5$ égal à $0$ .

$7^{x} - 5 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $7^{x} - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$7^{x} = 5$

Étape 6.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (7^{x}) = \ln (5)$

Étape 6.2.3

Développez $\ln (7^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (7) = \ln (5)$

Étape 6.2.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (7) = \ln (5)$ par $\ln (7)$ et simplifiez.

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Étape 6.2.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (7) = \ln (5)$ par $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (7)$ .

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Étape 6.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Étape 6.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Étape 7

Définissez $7^{x} + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $7^{x} + 6$ égal à $0$ .

$7^{x} + 6 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $7^{x} + 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$7^{x} = - 6$

Étape 7.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (7^{x}) = \ln (- 6)$

Étape 7.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 6)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7.2.4

Il n’y a pas de solution pour $7^{x} = - 6$

Aucune solution

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(7^{x} - 5) (7^{x} + 6) = 0$ vraie.

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$