Ensembles finis Exemples

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} = \frac{6}{x^{2} - 36}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{6}{x^{2} - 36}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{x^{2} - 36} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{x^{2} - 36}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{x^{2} - 6^{2}} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{6}{x - 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{6}{x - 6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{7}{x + 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{6}{x - 6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{7}{x + 6} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 6) (x + 6)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{6}{x - 6}$ par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{7}{x + 6} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{7}{x + 6}$ par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 6) (x + 6)$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (x + 6) - 7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (x + 6) - 7 (x - 6) - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x + 6 \cdot 6 - 7 (x - 6) - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{6 x + 36 - 7 (x - 6) - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x + 36 - 7 x - 7 \cdot - 6 - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.7.4

Multipliez $- 7$ par $- 6$ .

$\frac{6 x + 36 - 7 x + 42 - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.8

Soustrayez $7 x$ de $6 x$ .

$\frac{- x + 36 + 42 - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.9

Additionnez $36$ et $42$ .

$\frac{- x + 78 - 6}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.10

Soustrayez $6$ de $78$ .

$\frac{- x + 72}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 72}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.12

Réécrivez $72$ comme $- 1 (- 72)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 72)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 72)$ .

$\frac{- (x - 72)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.14

Réécrivez $- (x - 72)$ comme $- 1 (x - 72)$ .

$\frac{- 1 (x - 72)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 72}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x - 72 = 0$

Étape 4

Ajoutez $72$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 72$