Ensembles finis Exemples

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} = \frac{6}{2^{2} - 36}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{6}{2^{2} - 36}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{2^{2} - 36} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{2^{2} - 36}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{4 - 36} = 0$

Étape 2.1.1.2

Soustrayez $36$ de $4$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{6}{- 32} = 0$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $- 32$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{2 (3)}{- 32} = 0$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 32$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 16} = 0$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 16} = 0$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - \frac{3}{- 16} = 0$

Étape 2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} - - \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $- - \frac{3}{16}$ .

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} + 1 (\frac{3}{16}) = 0$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $\frac{3}{16}$ par $1$ .

$\frac{6}{x - 6} - \frac{7}{x + 6} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{6}{x - 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{6}{x - 6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{7}{x + 6} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{7}{x + 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{6}{x - 6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{7}{x + 6} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 6) (x + 6)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{6}{x - 6}$ par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{7}{x + 6} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{7}{x + 6}$ par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 6) (x + 6)$ .

$\frac{6 (x + 6)}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 (x + 6) - 7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x + 6 \cdot 6 - 7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.6.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{6 x + 36 - 7 (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x + 36 - 7 x - 7 \cdot - 6}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.6.4

Multipliez $- 7$ par $- 6$ .

$\frac{6 x + 36 - 7 x + 42}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.6.5

Soustrayez $7 x$ de $6 x$ .

$\frac{- x + 36 + 42}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.6.6

Additionnez $36$ et $42$ .

$\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16} = 0$

Étape 2.8

Pour écrire $\frac{3}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{16}{16} + \frac{3}{16} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 6) (x - 6) \cdot 16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{- x + 78}{(x + 6) (x - 6)}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{(- x + 78) \cdot 16}{(x + 6) (x - 6) \cdot 16} + \frac{3}{16} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.9.2

Multipliez $\frac{3}{16}$ par $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ .

$\frac{(- x + 78) \cdot 16}{(x + 6) (x - 6) \cdot 16} + \frac{3 ((x + 6) (x - 6))}{16 ((x + 6) (x - 6))} = 0$

Étape 2.9.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 6) (x - 6) \cdot 16$ .

$\frac{(- x + 78) \cdot 16}{16 (x + 6) (x - 6)} + \frac{3 ((x + 6) (x - 6))}{16 ((x + 6) (x - 6))} = 0$

Étape 2.9.4

Réorganisez les facteurs de $16 ((x + 6) (x - 6))$ .

$\frac{(- x + 78) \cdot 16}{16 (x + 6) (x - 6)} + \frac{3 ((x + 6) (x - 6))}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- x + 78) \cdot 16 + 3 ((x + 6) (x - 6))}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x \cdot 16 + 78 \cdot 16 + 3 (x + 6) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.2

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\frac{- 16 x + 78 \cdot 16 + 3 (x + 6) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.3

Multipliez $78$ par $16$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 (x + 6) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 16 x + 1248 + (3 x + 3 \cdot 6) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.5

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + (3 x + 18) (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.6

Développez $(3 x + 18) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.11.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x (x - 6) + 18 (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 + 18 (x - 6)}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 + 18 x + 18 \cdot - 6}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.11.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 + 18 x + 18 \cdot - 6}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 + 18 x + 18 \cdot - 6}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.7.1.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} - 18 x + 18 x + 18 \cdot - 6}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.7.1.3

Multipliez $18$ par $- 6$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} - 18 x + 18 x - 108}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.7.2

Additionnez $- 18 x$ et $18 x$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} + 0 - 108}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.7.3

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 16 x + 1248 + 3 x^{2} - 108}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.8

Soustrayez $108$ de $1248$ .

$\frac{- 16 x + 3 x^{2} + 1140}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 2.11.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x^{2} - 16 x + 1140}{16 (x + 6) (x - 6)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x^{2} - 16 x + 1140 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 16$ et $c = 1140$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1140)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1140$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1140$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 13680}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.3

Soustrayez $13680$ de $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 13424}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $- 13424$ comme $- 1 (13424)$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 13424}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (13424)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.7

Réécrivez $13424$ comme $4^{2} \cdot 839$ .

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Étape 4.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $13424$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{16 (839)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 839}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{16 \pm i \cdot (4 \sqrt{839})}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{839}}{3}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1140$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1140$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 13680}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.3

Soustrayez $13680$ de $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 13424}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.4

Réécrivez $- 13424$ comme $- 1 (13424)$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 13424}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (13424)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.7

Réécrivez $13424$ comme $4^{2} \cdot 839$ .

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Étape 4.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $13424$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{16 (839)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 839}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{16 \pm i \cdot (4 \sqrt{839})}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$

Étape 4.4.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{839}}{3}$

Étape 4.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{8 + 2 i \sqrt{839}}{3}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1140$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot 1140}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1140$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 13680}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $13680$ de $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 13424}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $- 13424$ comme $- 1 (13424)$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 13424}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (13424)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{13424}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.7

Réécrivez $13424$ comme $4^{2} \cdot 839$ .

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Étape 4.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $13424$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{16 (839)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 839}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{16 \pm i \cdot (4 \sqrt{839})}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 4 i \sqrt{839}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{839}}{3}$

Étape 4.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{8 - 2 i \sqrt{839}}{3}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{8 + 2 i \sqrt{839}}{3}, \frac{8 - 2 i \sqrt{839}}{3}$