Ensembles finis Exemples

$\frac{3 x - 17}{x - 4} = \frac{7 x - 7}{28}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{7 x - 7}{28}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 x - 7}{28} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 x - 7}{28}$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun à $7 x - 7$ et $28$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x) - 7}{28} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x) + 7 (- 1)}{28} = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (x) + 7 (- 1)$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x - 1)}{28} = 0$

Étape 2.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $7$ à partir de $28$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x - 1)}{7 (4)} = 0$

Étape 2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{7 (x - 1)}{7 \cdot 4} = 0$

Étape 2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x - 17}{x - 4} - \frac{x - 1}{4} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{3 x - 17}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x - 1}{4} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{x - 1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x - 17}{x - 4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x - 1}{4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 4) \cdot 4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{3 x - 17}{x - 4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(3 x - 17) \cdot 4}{(x - 4) \cdot 4} - \frac{x - 1}{4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{x - 1}{4}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(3 x - 17) \cdot 4}{(x - 4) \cdot 4} - \frac{(x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) \cdot 4$ .

$\frac{(3 x - 17) \cdot 4}{4 (x - 4)} - \frac{(x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 x - 17) \cdot 4 - (x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot 4 - 17 \cdot 4 - (x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 x - 17 \cdot 4 - (x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.3

Multipliez $- 17$ par $4$ .

$\frac{12 x - 68 - (x - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 x - 68 + (- x - - 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{12 x - 68 + (- x + 1) (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.6

Développez $(- x + 1) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 x - 68 - x (x - 4) + 1 (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 x - 68 - x \cdot x - x \cdot - 4 + 1 (x - 4)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 x - 68 - x \cdot x - x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.6.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{12 x - 68 - (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} - x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} + 4 x + 1 x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.7.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.7.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} + 4 x + x - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.7.2

Additionnez $4 x$ et $x$ .

$\frac{12 x - 68 - x^{2} + 5 x - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.8

Additionnez $12 x$ et $5 x$ .

$\frac{17 x - 68 - x^{2} - 4}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.9

Soustrayez $4$ de $- 68$ .

$\frac{17 x - x^{2} - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 17 x - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.11

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.6.11.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 72 = 72$ et dont la somme est $b = 17$ .

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Étape 2.6.11.1.1

Factorisez $17$ à partir de $17 x$ .

$\frac{- x^{2} + 17 (x) - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.11.1.2

Réécrivez $17$ comme $8$ plus $9$

$\frac{- x^{2} + (8 + 9) x - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} + 8 x + 9 x - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.11.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.6.11.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} + 8 x) + 9 x - 72}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.11.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x + 8) - 9 (- x + 8)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.6.11.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 8$ .

$\frac{(- x + 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.8

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 8)) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x - 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.10

Réécrivez $- (x - 8)$ comme $- 1 (x - 8)$ .

$\frac{- 1 (x - 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x - 8) (x - 9)}{4 (x - 4)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x - 8) (x - 9) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 9 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 4.3

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 8) (x - 9) = 0$ vraie.

$x = 8, 9$