Ensembles finis Exemples

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} = 2$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} - 2 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} - 2$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{2 x}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{x + 2}{2 x} - 2 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{x + 2}{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{x + 2}{2 x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - 2 = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2) \cdot 2 x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{2 x}{x + 2}$ par $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{2 x (2 x)}{(x + 2) (2 x)} + \frac{x + 2}{2 x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{x + 2}{2 x}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x (2 x)}{(x + 2) (2 x)} + \frac{(x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (2 x)$ .

$\frac{2 x (2 x)}{2 x (x + 2)} + \frac{(x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x (2 x) + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x^{2} + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.4

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + x (x + 2) + 2 (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.5.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.5.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + 2 x + 2 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.5.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.5.6

Additionnez $4 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x (x + 2)}{2 x (x + 2)}$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 \cdot \frac{2 x (x + 2)}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 2.7

Associez $- 2$ et $\frac{2 x (x + 2)}{2 x (x + 2)}$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} + \frac{- 2 (2 x (x + 2))}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 2 (2 x (x + 2))}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x (x + 2)}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 2.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 2}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 2.9.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 2}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 2.9.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 2}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 2.9.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x^{2} - 8 x}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 2.9.5

Soustrayez $4 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 2.9.6

Soustrayez $8 x$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 2.9.7

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.9.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2^{2}}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 2.9.7.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.9.7.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 2.9.7.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{2 x (x + 2)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$