Ensembles finis Exemples

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Étape 2.1.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1^{2}} - 1 = 0$

Étape 2.1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$2 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.3

Associez $2$ et $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1)) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.5.3

Développez $(2 x + 2) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (x - 1) + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.5.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.5.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.5.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.5.4.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.5.4.3

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.5.5

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.3

Développez $(- x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.9.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x (x - 1) - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.9.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4.1.2

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 2.9.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 0 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4.3

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.5

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} + x + 2 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

Étape 4.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Étape 4.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

Étape 4.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Étape 4.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$