Ensembles finis Exemples

$2^{2 x} - 2^{x + 2} - 12 = 0$

Étape 1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2^{2 x} - 12 - 2^{x + 2} = 0$

Étape 2

Réécrivez $2^{x + 2}$ comme $2^{x} \cdot 2^{2}$ .

$2^{2 x} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $2^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(2^{x})}^{2} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

Étape 4

Supprimez les parenthèses.

${(2^{x})}^{2} - 12 - 2^{x} \cdot 2^{2} = 0$

Étape 5

Remplacez $2^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 12 - u \cdot 2^{2} = 0$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u^{2} - 12 - u \cdot 4 = 0$

Étape 6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$u^{2} - 12 - 4 u = 0$

Étape 7

Déplacez $- 12$ .

$u^{2} - 4 u - 12 = 0$

Étape 8

Résolvez $u$ .

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Étape 8.1

Factorisez $u^{2} - 4 u - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 8.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 6) (u + 2) = 0$

Étape 8.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 6 = 0$

$u + 2 = 0$

Étape 8.3

Définissez $u - 6$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $u - 6$ égal à $0$ .

$u - 6 = 0$

Étape 8.3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 6$

Étape 8.4

Définissez $u + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.4.1

Définissez $u + 2$ égal à $0$ .

$u + 2 = 0$

Étape 8.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 2$

Étape 8.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 6) (u + 2) = 0$ vraie.

$u = 6, - 2$

Étape 9

Remplacez $u$ par $6$ dans $u = 2^{x}$ .

$6 = 2^{x}$

Étape 10

Résolvez $6 = 2^{x}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = 6$ .

$2^{x} = 6$

Étape 10.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (6)$

Étape 10.3

Développez $\ln (2^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (2) = \ln (6)$

Étape 10.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = \ln (6)$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 10.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = \ln (6)$ par $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 10.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Étape 10.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Étape 11

Remplacez $u$ par $- 2$ dans $u = 2^{x}$ .

$- 2 = 2^{x}$

Étape 12

Résolvez $- 2 = 2^{x}$ .

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Étape 12.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = - 2$ .

$2^{x} = - 2$

Étape 12.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

Étape 12.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 2)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 12.4

Il n’y a pas de solution pour $2^{x} = - 2$

Aucune solution

Étape 13

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$